Introduction
Les fractions sont un concept fondamental en mathématiques. C'est une base utilisée dans de nombreuses notions abordées dans une scolarité : les ratios, les proportions, approximations… d'un usage quotidien à un usage plus appliqué et complexe, les fractions sont d'une énorme utilité. Nous allons essayer via cet article de parcourir ses utilités et surtout de fournir un moyen simple et ludique de les appréhender.
Qu'est-ce qu'une fraction
Les fractions représentent une partie d'un ensemble. Elles se composent d'un numérateur (chiffre du haut) et d'un dénominateur (chiffre du bas). Le numérateur indique le nombre de parties prises, tandis que le dénominateur indique le nombre total de parties qui composent un tout.
Le numérateur et le dénominateur d'une fraction indiquent combien de parties d'un tout sont prises en compte. Par exemple, dans la fraction \(3\over 4\), trois est le numérateur et quatre le dénominateur, ce qui indique que l'on considère trois parties sur les quatre parties égales d'un tout. On pourrait faire le rapprochement dans le quotidien, avec un gâteau ou pizza qu'on aurait coupé en parts égales. Si je coupe ma pizza en quatre parts et que j'en mange 1, il me restera alors trois parts. C'est bien ce que représente ma fraction.
Une fraction pourra être :
- Propre : le numérateur est plus petit que le dénominateur, par exemple \(3\over 4\) est une fraction propre.
- Impropre : le dénominateur est plus grand que le numérateur, par exemple \(4\over 3\) est une fraction impropre
Les opérations avec des fractions
Addition et soustraction de fractions
Pour additionner ou soustraire des fractions, celles-ci doivent avoir un dénominateur commun. Une fois les dénominateurs communs trouvés, les numérateurs peuvent être ajoutés ou soustraits en conséquence. Pour aligner les dénominateurs, il existe deux possibilités :
- Le lien entre les deux dénominateurs est simple, l'un étant multiple de l'autre. Dans \({1\over 2} + {3\over 4}\) quatre est un multiple de 2, en multipliant 2 par 2 on trouve bien 4. On peut alors multiplier le numérateur et le dénominateur par 2 (cela a multiplié la fraction par 1, ça nous permet seulement de manipuler le dénominateur) pour pouvoir réaliser l'addition. On obtient ainsi \({1\over 2} + {3\over 4} = {2\over 4} + {3\over 4} = {5\over 4}\).
- Le lien entre les deux dénominateurs n'est pas évident, on peut changer les utilisant comme dénominateur le produit des deux dénominateurs. Dans \({1\over 2} + {2\over 3}\) on peut arriver à faire l'addition en multipliant \({1\over 2}\) par \(3\over 3\) et \({2\over 3}\) par \({2\over 2}\). Ce qui nous donne : \({1\over 2} + {2\over 3} = {3\over 6} + {4\over 6} = {7\over 6}\).
Multiplication des fractions
La multiplication des fractions est simple : il suffit de multiplier les numérateurs ensemble et les dénominateurs ensemble. Par exemple, en multipliant \(1\over 2\) par \(3\over 4\), on obtient \(3\over 8\).
Division de fractions
Pour diviser des fractions, il faut multiplier par son inverse. Par exemple, si l'on divise \(1\over 2\) par \(3\over 4\), on multiplie \(1\over 2\) par \(4\over 3\), ce qui donne \(4\over 6\) ou \(2\over 3\) après simplification.
Simplifier une fraction
Pour simplifier une fraction, on va chercher à diviser le numérateur et dénominateur par le plus grand nombre possible. Attention, il faut diviser le numérateur et le dénominateur par le même nombre.
Visualiser les fractions
Une des choses les plus difficiles à appréhender au départ avec les fractions est de visualiser ce que la fraction représente et surtout de comparer les fractions avec des dénominateurs différents entre elles. Cet article fournit un petit outil ludique pour appréhender la comparaison de fractions. Un moyen de faciliter la compréhension est de prendre le cas d'une pizza qu'on aurait découpée en parts de mêmes tailles, et d'en retirer. La plus grande fraction sera celle où il nous restera le plus de pizza.