Erreurs fréquentes : Dénombrement (Prépa, 1re année)
Dénombrer, c'est compter les éléments d'un ensemble fini sans les énumérer un par un, en le découpant, en le mettant en bijection avec un ensemble connu ou en le comptant de deux façons. Ces techniques servent en probabilités, en algèbre (formule du binôme, polynômes) et en informatique (complexité, structures de données).
Écrire $\operatorname{Card}(A\cup B)=\operatorname{Card}A+\operatorname{Card}B$ sans vérifier que $A$ et $B$ sont disjoints.
En général $\operatorname{Card}(A\cup B)=\operatorname{Card}A+\operatorname{Card}B-\operatorname{Card}(A\cap B)$. Le principe additif seul ne s'applique qu'à des cas deux à deux disjoints.
Compter $\operatorname{Card}\llbracket a,b\rrbracket=b-a$.
$\operatorname{Card}\llbracket a,b\rrbracket=b-a+1$ pour $a\le b$. Contrôle sur $\llbracket1,3\rrbracket$, qui a $3$ éléments.
Compter les mains contenant au moins un as par $4\binom{31}{4}$ (on choisit un as, puis $4$ cartes quelconques).
Une main avec deux as est comptée deux fois, selon l'as choisi en premier. On passe au complémentaire : $\binom{32}{5}-\binom{28}{5}$.
Confondre $n^p$ et $p^n$ pour le nombre d'applications d'un ensemble à $p$ éléments dans un ensemble à $n$ éléments.
Chaque élément de départ reçoit une image parmi les éléments d'arrivée : $(\operatorname{Card}F)^{\operatorname{Card}E}=n^p$.
Calculer $10\times9\times8$ pour le nombre de façons de choisir $3$ personnes parmi $10$ sans rôle distinct.
Ce produit compte des listes ordonnées. Chaque groupe de $3$ est compté $3!=6$ fois : le bon résultat est $\binom{10}{3}=120$.
Conclure qu'une application injective est bijective sans vérifier que les ensembles sont finis et de même cardinal.
L'équivalence injective, surjective, bijective exige deux ensembles finis de même cardinal. Contre-exemple : $n\mapsto n+1$ sur $\mathbb{N}$.
Appliquer le lemme des bergers alors que les éléments n'ont pas tous le même nombre d'antécédents (par exemple diviser par $3!$ pour les anagrammes d'un mot ayant des lettres répétées de façons différentes).
On vérifie que chaque fibre a exactement $k$ éléments. Pour ANANAS, chaque mot provient de $3!\times2!$ ordonnements, pas de $3!$ seulement.
Dans une preuve combinatoire, découper l'ensemble en cas qui se recouvrent ou qui ne couvrent pas tout.
On justifie explicitement que les cas sont deux à deux disjoints et que leur réunion est l'ensemble entier, par exemple en découpant selon un paramètre qui prend une seule valeur pour chaque objet (cardinal d'une intersection, plus grand élément).