Erreurs fréquentes : Sommes et produits (Prépa, 1re année)
Ce chapitre fixe les outils de calcul qui servent dans toute la prépa : manipuler les symboles $\sum$ et $\prod$, changer d'indice, télescoper, intervertir des sommes doubles. Il établit aussi les sommes usuelles, la formule du binôme et la factorisation de $a^n-b^n$, que l'on réutilise en analyse, en algèbre et en probabilités.
Écrire $\sum_{k=0}^{n} 5 = 5n$.
La somme comporte $n+1$ termes (de $0$ à $n$), donc elle vaut $5(n+1)$. En général $\sum_{k=p}^{q} c = (q-p+1)c$.
Écrire $\prod_{k=1}^{n}(2a_k) = 2\prod_{k=1}^{n}a_k$.
Le facteur $2$ apparaît dans chacun des $n$ termes : $\prod_{k=1}^{n}(2a_k) = 2^n\prod_{k=1}^{n}a_k$. La linéarité est une propriété des sommes, pas des produits.
Écrire $\sum_k a_kb_k = \left(\sum_k a_k\right)\left(\sum_k b_k\right)$.
C'est faux en général. Le produit de deux sommes est une somme double : $\left(\sum_i a_i\right)\left(\sum_j b_j\right) = \sum_{i,j} a_ib_j$, qui contient aussi les termes croisés $a_ib_j$ avec $i\neq j$.
Changer le terme général sans changer les bornes, par exemple écrire $\sum_{k=1}^{n} a_{k+1} = \sum_{j=1}^{n} a_j$.
Avec $j=k+1$, les bornes deviennent $2$ et $n+1$ : $\sum_{k=1}^{n} a_{k+1} = \sum_{j=2}^{n+1} a_j$. On vérifie toujours que le nombre de termes est conservé.
Se tromper sur les termes qui restent dans un télescopage, par exemple écrire $\sum_{k=1}^{n}\left(\frac1k-\frac1{k+1}\right) = 1-\frac1n$.
Il reste le premier terme positif et le dernier terme négatif : $1 - \frac{1}{n+1}$. On l'évite en appliquant la formule $a_{q+1}-a_p$ avec la suite bien identifiée, ou en écrivant les premiers et derniers termes.
Intervertir une somme triangulaire en gardant les mêmes bornes : $\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=i}^{n} a_{i,j} = \sum_{j=i}^{n}\sum_{i=1}^{n} a_{i,j}$.
Après interversion, la somme extérieure ne peut pas dépendre de l'indice intérieur. On revient à la condition $1\leqslant i\leqslant j\leqslant n$ : à $j$ fixé, $i$ va de $1$ à $j$, et $j$ va de $1$ à $n$. D'où $\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{j} a_{i,j}$.
Appliquer la formule géométrique avec le mauvais exposant, par exemple $\sum_{k=0}^{n} q^k = \frac{1-q^n}{1-q}$, ou l'appliquer pour $q=1$.
L'exposant au numérateur est le nombre de termes : $\sum_{k=0}^{n} q^k = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$, uniquement si $q\neq 1$. Pour $q=1$, la somme vaut $n+1$.
Écrire $(a+b)^n = a^n + b^n$, ou oublier les signes en développant $(a-b)^n$.
La formule du binôme contient tous les termes $\binom nk a^kb^{n-k}$. Pour $(a-b)^n$, le terme général est $\binom nk a^k(-b)^{n-k}$ : le signe est $(-1)^{n-k}$.