Fiche résumé : Sommes et produits (Prépa, 1re année)

Ce chapitre fixe les outils de calcul qui servent dans toute la prépa : manipuler les symboles $\sum$ et $\prod$, changer d'indice, télescoper, intervertir des sommes doubles. Il établit aussi les sommes usuelles, la formule du binôme et la factorisation de $a^n-b^n$, que l'on réutilise en analyse, en algèbre et en probabilités.

Conventions : somme vide $=0$, produit vide $=1$, $0! = 1$. $\sum_{k=p}^{q}$ comporte $q-p+1$ termes.
Linéarité des sommes ; pour les produits : $\prod_{k=p}^{q}(\lambda a_k) = \lambda^{q-p+1}\prod_{k=p}^{q} a_k$.
Translation : $\sum_{k=p}^{q} a_{k+m} = \sum_{j=p+m}^{q+m} a_j$. Symétrie : $\sum_{k=0}^{n} a_{n-k} = \sum_{k=0}^{n} a_k$.
Télescopage : $\sum_{k=p}^{q}(a_{k+1}-a_k) = a_{q+1}-a_p$ ; $\prod_{k=p}^{q}\frac{a_{k+1}}{a_k} = \frac{a_{q+1}}{a_p}$.
Sommes usuelles : $\sum_{k=1}^{n}k = \frac{n(n+1)}{2}$, $\sum_{k=1}^{n}k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$, $\sum_{k=1}^{n}k^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$.
Géométrique : pour $q\neq1$, $\sum_{k=0}^{n}q^k = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ ; pour $q=1$, elle vaut $n+1$.
Sommes doubles : sur un rectangle, l'ordre est libre. Sur un triangle : $\sum_{1\leqslant i\leqslant j\leqslant n} a_{i,j} = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=i}^{n}a_{i,j} = \sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{j}a_{i,j}$.
Produit de sommes : $\left(\sum_i a_i\right)\left(\sum_j b_j\right) = \sum_{i,j}a_ib_j$ ; $\left(\sum_i a_i\right)^2 = \sum_i a_i^2 + 2\sum_{i<j}a_ia_j$.
Coefficients binomiaux : $\binom nk = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ si $0\leqslant k\leqslant n$, $0$ sinon ; $\binom nk = \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}$.
Symétrie $\binom{n}{n-k} = \binom nk$ ; Pascal $\binom nk+\binom n{k+1} = \binom{n+1}{k+1}$ ; absorption $k\binom nk = n\binom{n-1}{k-1}$.
Binôme : $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom nk a^kb^{n-k}$ ; d'où $\sum_{k=0}^{n}\binom nk = 2^n$ et, pour $n\geqslant1$, $\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom nk = 0$.
Factorisation : $a^n-b^n = (a-b)\sum_{k=0}^{n-1}a^kb^{n-1-k}$ ; pour $n$ impair, $a^n+b^n = (a+b)\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^ka^kb^{n-1-k}$.
Réflexe : vérifier chaque formule obtenue sur $n=1$ ou $n=2$.