Erreurs fréquentes : Graphes et matrices (Terminale)
Les matrices permettent de ranger des nombres en tableau et de calculer avec ces tableaux comme avec des nombres, à quelques précautions près. Elles servent ici à compter des chemins dans un graphe, à calculer les termes de suites couplées et à prévoir l'évolution d'un système aléatoire, les chaînes de Markov.
Écrire $AB=BA$, ou développer $(A+B)^2$ en $A^2+2AB+B^2$.
Le produit matriciel n'est pas commutatif. On a $(A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2$, qui ne se simplifie que si l'on sait que $AB=BA$ (par exemple si $B=I$).
Calculer $A^n$ en élevant chaque coefficient de $A$ à la puissance $n$.
Cela n'est vrai que pour une matrice diagonale. Dans le cas général, il faut une récurrence ou une écriture $A=PDP^{-1}$, qui donne $A^n=PD^nP^{-1}$.
Résoudre $AX=B$ en écrivant $X=BA^{-1}$ ou $X=\dfrac{B}{A}$.
La division par une matrice n'existe pas. On multiplie à gauche par $A^{-1}$ : $X=A^{-1}B$. Le produit $BA^{-1}$ n'existe d'ailleurs pas si $B$ est une colonne et $A$ d'ordre au moins $2$.
Déduire de $AB=0$ que $A=0$ ou $B=0$, ou simplifier $AB=AC$ en $B=C$ sans précaution.
Un produit de matrices non nulles peut être nul. On ne peut simplifier par $A$ que si $A$ est inversible, en multipliant à gauche par $A^{-1}$.
Se tromper de signe dans l'inverse $2\times 2$ : échanger $b$ et $c$, ou oublier de diviser par $ad-bc$.
On échange les coefficients diagonaux $a$ et $d$, on change le signe de $b$ et $c$ sans les déplacer, puis on divise par $ad-bc$. Toujours vérifier que $AA^{-1}=I_2$.
Confondre la longueur d'un chemin avec le nombre de sommets visités, et calculer $M^5$ pour un chemin passant par $5$ sommets.
La longueur est le nombre d'arcs (ou d'arêtes). Un chemin passant par $5$ sommets, départ et arrivée compris, a pour longueur $4$ : on lit le coefficient de $M^4$.
Écrire $\pi_{n+1}=P\pi_n$ avec une distribution en ligne, ou remplir la matrice de transition en colonnes.
Avec la convention du programme, la ligne $i$ de $P$ contient les probabilités de départ de l'état $i$ (somme $1$ par ligne) et $\pi_{n+1}=\pi_nP$, d'où $\pi_n=\pi_0P^n$.
Chercher une distribution invariante en résolvant seulement $\pi P=\pi$.
Ce système admet une infinité de solutions proportionnelles entre elles. Il faut ajouter la condition que la somme des coefficients de $\pi$ vaut $1$.