Erreurs fréquentes : Arithmétique dans $\mathbb{Z}$ (Prépa, 1re année)
Ce chapitre étudie la divisibilité dans $\mathbb{Z}$ : division euclidienne, PGCD et PPCM, nombres premiers, congruences. Ces outils servent à résoudre des équations en nombres entiers, à calculer des restes de grandes puissances, et ils préparent l'étude des anneaux $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ et de l'arithmétique des polynômes.
Écrire la division euclidienne de $-17$ par $5$ sous la forme $-17 = 5 \times (-3) - 2$.
Le reste doit vérifier $0 \leqslant r < 5$. Le quotient est $\lfloor -17/5 \rfloor = -4$ et le reste est $3$ : $-17 = 5 \times (-4) + 3$.
Déduire de $au + bv = d$ que $d = a \wedge b$ (par exemple $4 \times 1 + 6 \times 1 = 10$, donc « $4 \wedge 6 = 10$ »).
Une relation $au + bv = d$ montre seulement que $a \wedge b$ divise $d$. La réciproque n'est valable que pour $d = 1$ : $au + bv = 1$ entraîne $a \wedge b = 1$.
Appliquer le lemme de Gauss sans vérifier l'hypothèse de coprimalité, ou affirmer que $a \mid bc$ implique $a \mid b$ ou $a \mid c$.
$6 \mid 4 \times 3$ alors que $6 \nmid 4$ et $6 \nmid 3$. Le lemme de Gauss exige $a \wedge b = 1$ ; l'alternative « $a \mid b$ ou $a \mid c$ » n'est vraie que si $a$ est premier (lemme d'Euclide).
Conclure de $a \mid n$ et $b \mid n$ que $ab \mid n$.
C'est faux en général : $4 \mid 12$ et $6 \mid 12$ mais $24 \nmid 12$. Il faut $a \wedge b = 1$. Dans le cas général, on a seulement $a \vee b \mid n$.
Simplifier une congruence par un facteur quelconque, par exemple passer de $4x \equiv 8 \;[12]$ à $x \equiv 2 \;[12]$.
On ne peut simplifier par $k$ que si $k \wedge n = 1$. Ici $4x \equiv 8 \;[12]$ équivaut à $12 \mid 4(x - 2)$, soit $3 \mid x - 2$, c'est-à-dire $x \equiv 2 \;[3]$ : $x = 5$ convient alors que $5 \not\equiv 2 \;[12]$.
Dans la résolution de $ax + by = c$, oublier la réciproque, ou écrire $x = x_0 + kb$ au lieu de $x = x_0 + kb'$ avec $b' = b/(a \wedge b)$.
On divise d'abord par $d = a \wedge b$ pour se ramener à $a' \wedge b' = 1$ ; le pas des solutions est $b'$ pour $x$ et $a'$ pour $y$. On vérifie ensuite que tous les couples obtenus sont solutions.
Utiliser $a^{p-1} \equiv 1 \;[p]$ quand $p$ divise $a$, ou avec un module non premier.
Si $p \mid a$, alors $a^{p-1} \equiv 0 \;[p]$. La forme $a^p \equiv a \;[p]$ est valable pour tout $a$, la forme $a^{p-1} \equiv 1 \;[p]$ exige $p \nmid a$, et les deux exigent $p$ premier.
Confondre « premiers entre eux dans leur ensemble » et « premiers entre eux deux à deux ».
$6, 10, 15$ ont pour PGCD global $1$ mais aucun couple n'est formé d'entiers premiers entre eux. Les résultats du type « $a_1 \cdots a_r \mid n$ » demandent la coprimalité deux à deux.