Démarche de modélisation : méthode (MPSI)
Démarche de modélisation
- Décrire précisément un résultat : qu'est-ce qui distingue deux issues ? (« une main de 5 cartes », « un podium ordonné »).
- Choisir l'ensemble modèle : listes, listes d'éléments distincts, parties, applications, produit cartésien.
- Vérifier la correspondance : chaque issue est représentée une et une seule fois. Sinon, corriger par le lemme des bergers (diviser par le nombre de répétitions) ou découper en cas disjoints.
- Calculer, puis contrôler sur un petit cas ou par un second comptage.
Urne : trois façons de tirer
Une urne contient $10$ boules numérotées : $4$ rouges et $6$ blanches. On tire $3$ boules.
Tirage simultané (parties à $3$ éléments) : $\binom{10}{3}=120$ tirages. Exactement $2$ rouges : $\binom{4}{2}\binom{6}{1}=36$.
Tirages successifs sans remise ($3$-listes d'éléments distincts) : $10\times9\times8=720$ tirages. Exactement $2$ rouges : on choisit les rangs des rouges ($\binom{3}{2}=3$), puis les boules dans l'ordre : $3\times4\times3\times6=216$.
Tirages successifs avec remise ($3$-listes) : $10^3=1000$ tirages. Exactement $2$ rouges : $3\times4^2\times6=288$.
Les proportions $\frac{36}{120}$ et $\frac{216}{720}$ valent toutes deux $0{,}3$ : sans remise, tenir compte de l'ordre ne change pas les proportions, à condition de le faire partout.
Cohérence du modèle
Dans un même calcul, on garde un seul modèle. Compter le total en parties et les cas favorables en listes (ou l'inverse) donne un résultat faux d'un facteur $p!$.
De même, « choisir $3$ délégués » (parties) et « choisir un président, un trésorier, un secrétaire » (listes d'éléments distincts) ne sont pas la même question : $\binom{10}{3}=120$ contre $10\times9\times8=720$.
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Dans le cours
Dénombrement : Démarche de modélisation