Prépa, 1re année › Méthodes de maths — MPSI
Méthodes de maths — MPSI
Logique et raisonnements
- Démontrer une équivalence
- Écrire la négation d'un énoncé quantifié
- Démontrer un énoncé quantifié
- Raisonnement direct
- Raisonnement par contraposée
- Raisonnement par l'absurde
- Disjonction de cas
- Analyse-synthèse
- Rédiger une récurrence
- Choisir le type de récurrence
Ensembles et applications
- Montrer une inclusion, une égalité d'ensembles
- Calculer une image directe ou réciproque
- Étudier l'injectivité, la surjectivité, la bijectivité
- Montrer qu'une relation est une relation d'équivalence
Sommes et produits
- Effectuer un changement d'indice
- Reconnaître un télescopage
- Calculer une somme polynomiale ou géométrique
- Intervertir une somme double triangulaire
- Calculer une somme comportant des coefficients binomiaux
- Utiliser la factorisation de $a^n-b^n$
Nombres complexes
- Mettre un quotient sous forme algébrique
- Montrer qu'un complexe est réel ou imaginaire pur
- Linéariser cos^p x sin^q x
- Exprimer cos(nx) ou sin(nx) en fonction de cos x et sin x
- Technique de l'angle moitié
- Obtenir la forme trigonométrique de a + ib
- Transformer a cos t + b sin t
- Racines carrées sous forme algébrique
- Alignement et orthogonalité
- Reconnaître une transformation z ↦ az + b
Fonctions usuelles
- Montrer qu'une fonction est bijective et dériver sa réciproque
- Plan d'étude d'une fonction
- Étudier une fonction de la forme $u(x)^{v(x)}$
- Lever une indétermination avec les croissances comparées
- Résoudre une équation hyperbolique
- Simplifier $\arcsin(\sin x)$, $\arccos(\cos x)$, $\arctan(\tan x)$
- Établir une identité entre fonctions réciproques
Équations différentielles linéaires
- Découper un second membre
- Variation de la constante
- Coefficient constant et second membre exponentielle-polynôme
- Résoudre une équation du premier ordre
- Second membre trigonométrique
- Résoudre une équation du second ordre à coefficients constants
- Recoller des solutions
Nombres réels
- Comparer deux réels
- Résoudre une (in)équation avec valeurs absolues
- Montrer que M est la borne supérieure de A
- Montrer qu'une partie est (ou n'est pas) un intervalle
- Déterminer une partie entière
- Construire un rationnel entre a et b
Suites réelles : convergence
- Étudier la monotonie d'une suite
- Lever une forme indéterminée
- Prouver une convergence par encadrement
- Montrer que deux suites sont adjacentes
- Prouver qu'une suite diverge
- Déterminer une borne supérieure
- Plan d'étude d'une suite récurrente
Limites et continuité
- Prouver une limite finie avec la définition
- Montrer qu'une fonction n'a pas de limite en $a$
- Choisir l'outil pour une limite
- Limite d'une suite récurrente $u_{n+1} = f(u_n)$
- Prouver qu'une équation $f(x) = y$ a une solution
- Minorer une fonction continue strictement positive par une constante
- Montrer qu'une fonction n'est pas uniformément continue
Dérivabilité
- Étudier la dérivabilité en un point délicat
- Dériver une réciproque
- Obtenir une inégalité par les accroissements finis
- Suite récurrente et fonction contractante
- Calculer une dérivée $n$-ième
- Démontrer une inégalité par convexité
Analyse asymptotique
- Trouver un équivalent simple d'une suite
- DL en un point $a\neq0$ ou en $\pm\infty$
- Choisir les ordres dans un produit
- Calculer un DL : démarche complète
- Calculer une limite ou un équivalent par DL
- Tangente et position relative
- Asymptote oblique et position
- Développement asymptotique d'une suite implicite
Arithmétique dans $\mathbb{Z}$
- Algorithme d'Euclide
- Algorithme d'Euclide étendu
- Résoudre $ax + by = c$ dans $\mathbb{Z}^2$
- Tester la primalité d'un entier
- Calculer le reste d'une grande puissance
- Résoudre $ax \equiv b \;[n]$ lorsque $a \wedge n = 1$
Structures algébriques usuelles
- Étudier une loi donnée par une formule
- Montrer qu'un ensemble muni d'une loi est un groupe
- Montrer qu'une partie est un sous-groupe
- Utiliser noyau et image
- Déterminer les inversibles à l'aide d'une norme
- Montrer qu'un ensemble est un corps
Polynômes
- Poser une division euclidienne
- Calculer un reste à l'aide des racines du diviseur
- Déterminer la multiplicité d'une racine
- Résoudre un système symétrique
- Factoriser un polynôme dans C[X] puis R[X]
- Construire un polynôme d'interpolation
Espaces vectoriels et applications linéaires
- Montrer qu'une partie est (ou n'est pas) un sous-espace vectoriel
- Passer d'une description à l'autre
- Étudier la liberté d'une famille
- Montrer que E = F ⊕ G par analyse-synthèse
- Déterminer noyau et image
- Reconnaître un projecteur et trouver ses éléments
Dimension finie
- Compléter une famille libre en une base
- Montrer qu'une famille est une base
- Montrer l'égalité de deux sous-espaces
- Montrer que deux sous-espaces sont supplémentaires
- Calculer le rang d'une famille de $\mathbb{K}^n$ par échelonnement
- Déterminer noyau, image et rang
- Montrer qu'une application linéaire est un isomorphisme
Matrices
- Calculer les puissances $A^n$
- Inverser une matrice carrée
- Écrire la matrice d'une application linéaire
- Montrer que deux matrices sont (ou ne sont pas) semblables
- Déterminer le rang d'une matrice
- Résoudre un système par le pivot de Gauss
- Inverser une matrice par Gauss-Jordan
Déterminants
- Décomposer une permutation en cycles
- Calculer un déterminant par la méthode du pivot
- Bien utiliser le développement
- Stratégie générale de calcul d'un déterminant
Intégration sur un segment
- Utiliser Cauchy-Schwarz
- Reconnaître une somme de Riemann
- Étudier $x\mapsto\int_{u(x)}^{v(x)}f(t)\,\mathrm{d}t$
- Choisir les rôles dans une intégration par parties
- Mener un changement de variable
- Appliquer Taylor-Lagrange
Séries numériques
- Calculer une somme par télescopage
- Étudier la nature d'une série à termes positifs
- Utiliser la comparaison série-intégrale
- Étudier une série de signe quelconque ou complexe
- Convertir un développement périodique en fraction
Espaces préhilbertiens réels
- Montrer qu'une application est un produit scalaire
- Utiliser Cauchy-Schwarz pour majorer
- Orthonormaliser une famille libre
- Déterminer l'orthogonal d'un sous-espace
- Calculer une projection orthogonale
- Reconnaître un problème de distance
Dénombrement
- Prouver qu'une application est bijective en dimension finie
- Principe additif, principe multiplicatif
- « Exactement », « au moins », « au plus »
- Rédiger une preuve combinatoire
- Démarche de modélisation
Probabilités sur un univers fini
- Calculer une probabilité dans un modèle uniforme
- Lire et utiliser un arbre pondéré
- Inverser un conditionnement
- Démarche générale pour un exercice de probabilités
Variables aléatoires sur un univers fini
- Déterminer la loi d'une variable aléatoire
- Reconnaître une loi binomiale
- Prouver ou réfuter une indépendance
- Calculer une espérance
- Calculer la variance d'une somme
- Déterminer un nombre d'épreuves suffisant
Fractions rationnelles
- Calculer la partie entière de P/Q
- Pôle multiple
- Décomposer une fraction réelle
- Primitive d'une fonction rationnelle