Prépa, 1re année › Formulaire de maths — MPSI
Formulaire de maths — MPSI
Logique et raisonnements
- Contraposée et négation d'une implication
- Négation des quantificateurs
- Ordre des quantificateurs
- Irrationalité de $\sqrt{2}$
- Infinité des nombres premiers
- Décomposition paire-impaire
- Propriété fondamentale de $\mathbb{N}$ (admise)
- Principe de récurrence simple
- Récurrence double
- Récurrence forte
Ensembles et applications
- Règles de calcul
- Associativité, élément neutre
- Image directe, image réciproque et opérations
- Caractérisation des bijections
- Composition et injectivité, surjectivité, bijectivité
- Les classes d'équivalence forment une partition
- Unicité du plus grand élément
Sommes et produits
- Règles de calcul sur les sommes
- Règles de calcul sur les produits
- Changements d'indice usuels
- Somme télescopique
- Sommes des puissances d'entiers
- Somme géométrique
- Interversion sur un rectangle
- Interversion sur un triangle
- Carré d'une somme
- Relation de Pascal
- Formule d'absorption
- Formule du binôme
- Conséquences immédiates
- Factorisation de $a^n+b^n$ pour $n$ impair
Nombres complexes
- Règles de calcul sur le conjugué
- Propriétés du module
- Inégalité triangulaire
- Seconde inégalité triangulaire
- U est un sous-groupe de C*
- Propriétés de θ ↦ exp(iθ)
- Formules d'Euler et de Moivre
- Calcul sur les arguments
- Propriétés de l'exponentielle complexe
- Racines n-ièmes de l'unité
- Somme des racines n-ièmes de l'unité ; le nombre j
- Racines n-ièmes d'un complexe non nul
- Équation du second degré
- Décomposition d'une similitude directe
Fonctions usuelles
- Dérivée d'une fonction réciproque
- Propriétés du logarithme
- Deux inégalités fondamentales
- Fonctions puissances $x \mapsto x^\alpha$
- Exponentielle de base $a$
- Croissances comparées
- Relations fondamentales
- Dérivées et variations
- Formules à connaître
- Limites et inégalité de référence
- Propriétés de arc sinus
- Propriétés de arc cosinus
- Propriétés de arc tangente
- Dérivées de composées
- Deux identités classiques
Équations différentielles linéaires
- Structure de l'ensemble des solutions
- Principe de superposition
- Solutions de l'équation homogène
- Solutions de l'équation complète
- Problème de Cauchy (premier ordre)
- Solutions exponentielles
- Cas complexe
- Cas réel
- Problème de Cauchy (second ordre)
- Second membre exponentielle-polynôme
Nombres réels
- Compatibilité avec les opérations
- Valeur absolue et intervalles
- Lien avec le maximum
- Propriété de la borne supérieure (admise)
- Propriété d'Archimède
- Caractérisation de la borne supérieure
- Passage à la borne supérieure
- Caractérisation des intervalles
- Définition de la partie entière
- Propriétés de la partie entière
- Encadrement et monotonie
- Une infinité de rationnels et d'irrationnels
Suites réelles : convergence
- Caractérisation des suites bornées
- Une suite convergente est bornée
- Signe d'une suite de limite non nulle
- Opérations sur les limites finies
- Opérations avec des limites infinies
- Passage à la limite dans une inégalité large
- Majoration de l'écart à la limite
- Minoration, majoration et limites infinies
- Théorème de la limite monotone
- Théorème des suites adjacentes
- Lemme sur les extractions
- Suites extraites d'une suite qui a une limite
- Rangs pairs et rangs impairs
- Théorème de Bolzano-Weierstrass
- Caractérisation séquentielle de la borne supérieure
- Caractérisation séquentielle de la densité
- La suite est bien définie
- Monotonie de la suite
- La limite est un point fixe
Limites et continuité
- Lien entre limite et limites latérales
- Unicité de la limite
- Limite finie implique bornée au voisinage
- Caractérisation séquentielle de la limite
- Opérations sur les limites
- Composition des limites
- Signe au voisinage d'une limite
- Théorème d'encadrement
- Théorème de minoration et de majoration
- Opérations et fonctions usuelles
- Caractérisation séquentielle de la continuité
- Théorème des valeurs intermédiaires
- Corollaire : fonction continue qui ne s'annule pas
- Image d'un intervalle par une fonction continue
- Théorème de la bijection
- Théorème des bornes atteintes
- Image d'un segment
- Lipschitzienne implique uniformément continue implique continue
- Théorème de Heine
Dérivabilité
- Caractérisation par un développement limité d'ordre 1
- Dérivable implique continue
- Combinaison linéaire, produit, quotient
- Dérivée d'une composée
- Dérivée d'une réciproque
- Condition nécessaire d'extremum local
- Théorème de Rolle
- Rolle itéré
- Égalité des accroissements finis
- Inégalité des accroissements finis
- Dérivée et monotonie
- Stricte monotonie avec des annulations isolées
- Théorème de la limite de la dérivée
- Prolongement $\mathcal{C}^1$
- Formule de Leibniz
- Opérations sur les fonctions de classe $\mathcal{C}^n$
- Inégalité de Jensen
- Inégalité des pentes
- Caractérisation des fonctions convexes dérivables
- Position par rapport aux tangentes
Analyse asymptotique
- Caractérisation par le quotient
- Règles de calcul sur $o$ et $O$
- Propriétés de l'équivalence
- Opérations compatibles avec l'équivalence
- Caractérisation et règles de calcul
- Substitution (composition à droite)
- Équivalents usuels en $0$
- Polynômes et croissances comparées
- DL d'ordre $0$ et d'ordre $1$
- Forme normalisée et équivalent
- Primitivation d'un développement limité
- Formule de Taylor-Young
- Développements limités usuels en $0$
- Somme et produit
- Inverse et quotient
Arithmétique dans $\mathbb{Z}$
- Division euclidienne
- Divisibilité et reste
- Lemme d'Euclide (version algorithmique)
- Relation de Bézout et diviseurs communs
- Homogénéité du PGCD
- Théorème de Bézout
- Forme réduite d'un couple
- Lemme de Gauss
- Conséquences du lemme de Gauss
- Forme irréductible d'un rationnel
- Multiples communs et lien avec le PGCD
- Existence d'un diviseur premier
- Infinitude des nombres premiers
- Nombre premier et divisibilité
- Théorème fondamental de l'arithmétique
- Nombre de diviseurs
- Opérations sur les congruences
- Inverse modulo $n$
- Lemme : $p$ divise $\binom{p}{k}$
- Petit théorème de Fermat
Structures algébriques usuelles
- Unicité du neutre
- Unicité et symétrique d'un produit
- Règles de calcul dans un groupe
- Règles sur les puissances
- Caractérisation des sous-groupes
- Intersection de sous-groupes
- Sous-groupes de $\mathbb Z$
- Composée et réciproque
- Images directe et réciproque d'un sous-groupe
- Critère d'injectivité
- Binôme de Newton et factorisation de $a^n-b^n$
- Simplification dans un anneau intègre
- $A^\times$ est un groupe
- Un corps est intègre
- Tout sous-corps de $\mathbb R$ contient $\mathbb Q$
- Un morphisme de corps est injectif
Polynômes
- Structure d'anneau
- Degré d'une somme, d'un produit
- Intégrité, inversibles
- Règles de divisibilité
- Racine et facteur X−a
- Nombre de racines
- Racines comptées avec multiplicité
- Formule de Taylor pour les polynômes
- Caractérisation de la multiplicité par les dérivées
- Relations entre coefficients et racines
- Racines conjuguées d'un polynôme réel
- Existence et unicité du polynôme d'interpolation
- Identités utiles
Espaces vectoriels et applications linéaires
- Caractérisation des sous-espaces vectoriels
- Intersection de sous-espaces
- Description de Vect
- Ajouter un vecteur à une famille libre
- Polynômes de degrés échelonnés
- Caractérisation des bases
- La somme est un sous-espace
- Caractérisation de la somme directe
- Premières conséquences
- Opérations sur les applications linéaires
- Réciproque d'un isomorphisme
- Images directe et réciproque de sous-espaces
- Injectivité et noyau
- Image d'une famille génératrice
- Image d'une base
- Détermination par l'image d'une base
- Détermination par les restrictions à deux supplémentaires
- Structure des solutions d'une équation linéaire
- Propriétés d'un projecteur
- Caractérisation des projecteurs
- Caractérisation des symétries
Dimension finie
- Ajout d'un vecteur à une famille libre
- Théorème de la base incomplète
- Base extraite, existence de bases
- Lemme fondamental
- Invariance du cardinal des bases et définition de la dimension
- Caractérisation des bases par le cardinal
- Dimension d'un produit
- Dimension d'un sous-espace
- Somme directe et bases
- Existence de supplémentaires
- Formule de Grassmann
- Caractérisation des supplémentaires par la dimension
- Encadrement du rang
- Injectivité, surjectivité et image d'une base
- Espaces isomorphes
- Dimension de $\mathcal{L}(E,F)$
- Rang d'une composée
- Théorème du rang
- Dimension d'une somme de plusieurs sous-espaces
- Caractérisation des isomorphismes
- Dimensions différentes
- Inverse à gauche ou à droite
- Hyperplans en dimension finie
- Intersection d'hyperplans
Matrices
- Produit de matrices élémentaires
- Stabilités et décomposition
- Produit par blocs
- Inverse d'un produit, d'une transposée
- Caractérisations de l'inversibilité
- Cas des matrices $2\times2$
- Matrices triangulaires inversibles
- Calcul de l'image d'un vecteur
- Isomorphisme entre $\mathcal L(E,F)$ et $\mathcal M_{n,p}(\mathbb K)$
- Matrice d'une composée
- Isomorphismes et matrices inversibles
- Inversibilité et formule sur les coordonnées
- Formules de changement de base
- Rang d'une application et de sa matrice
- Invariance par multiplication par une matrice inversible
- Rang de la transposée
- Matrices extraites
- Ce que conservent les opérations élémentaires
- Algorithme du pivot de Gauss-Jordan
- Propriétés de la trace
- Invariance par similitude, trace d'un endomorphisme
- Trace d'un projecteur
Déterminants
- Les transpositions engendrent le groupe symétrique
- Signature d'un cycle, de l'inverse
- Propriétés d'une forme n-linéaire alternée
- Déterminant dans une base
- Changement de base, caractérisation des bases
- Définition du déterminant d'un endomorphisme
- Liens entre les trois déterminants
- Déterminant de la transposée
- Effet des opérations élémentaires
- Matrice triangulaire
- Relation de la comatrice et inverse
- Déterminant triangulaire par blocs
- Valeur du déterminant de Vandermonde
- Application : interpolation de Lagrange
Intégration sur un segment
- Approximation par des fonctions en escalier (admis)
- Linéarité, Chasles, positivité, croissance
- Inégalité de la moyenne
- Intégrale nulle d'une fonction continue positive
- Inégalité de Cauchy-Schwarz
- Inégalité triangulaire complexe
- Convergence des sommes de Riemann
- Théorème fondamental de l'analyse
- Calcul d'une intégrale par une primitive
- Dérivée d'une intégrale à bornes variables
- Intégration par parties
- Changement de variable
- Parité et périodicité
- Formule de Taylor avec reste intégral
- Inégalité de Taylor-Lagrange
Séries numériques
- Premières propriétés
- Divergence grossière
- Séries géométriques
- Lien suite-série : séries télescopiques
- Somme partielle majorée
- Comparaison par inégalité
- Comparaison par domination, négligeabilité, équivalence
- Comparaison série-intégrale
- Séries de Riemann
- Constante d'Euler
- La convergence absolue entraîne la convergence
- Domination par une série positive convergente
- Développement décimal propre
Espaces préhilbertiens réels
- Développements et identités de polarisation
- La norme associée est une norme
- Théorème de Pythagore
- Une famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre
- Calculs dans une base orthonormée
- Procédé de Gram-Schmidt
- Existence de bases orthonormées
- Propriétés de l'orthogonal
- Supplémentaire orthogonal
- Caractérisation et expression
- Distance à un sous-espace de dimension finie
- Inégalité de Bessel
Dénombrement
- Invariance par bijection
- Parties d'un ensemble fini
- Image d'un ensemble fini
- Applications entre ensembles de même cardinal
- Réunion disjointe
- Complémentaire, différence
- Réunion de deux ensembles finis
- Lemme des bergers
- Nombre d'applications
- Nombre de parties
- Nombre de $p$-listes d'éléments distincts
- Injections et permutations
- Interprétation combinatoire de $\binom{n}{k}$
- Formule de Pascal
- Sommes classiques
- Formule de Vandermonde
- Somme des carrés
Probabilités sur un univers fini
- Propriétés élémentaires
- Probabilité définie par une distribution
- Formule des probabilités composées
- Formule des probabilités totales
- Formule de Bayes
- Caractérisation par le conditionnement
- Passage aux contraires
- Indépendance mutuelle et contraires
Variables aléatoires sur un univers fini
- La loi est une probabilité
- Indicatrice d'un événement
- Nombre de succès
- Des lois conjointes aux lois marginales
- Caractérisation par les parties
- Fonctions de variables indépendantes
- Lemme des coalitions
- Somme de Bernoulli indépendantes
- Propriétés de l'espérance
- Formule de transfert
- Espérances des lois usuelles
- Espérance d'un produit de variables indépendantes
- Formule de König-Huygens
- Effet d'une transformation affine, variance nulle
- Variances des lois usuelles
- Propriétés de la covariance
- Variance d'une somme
- Inégalité de Markov
- Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
- Écart entre fréquence et probabilité
Fractions rationnelles
- Existence et unicité de la forme irréductible
- Règles de calcul sur le degré
- Une fraction est déterminée par ses valeurs
- Pôles d'une fraction à coefficients réels
- Partie entière
- Décomposition en éléments simples sur C
- Coefficient relatif à un pôle simple
- Décomposition en éléments simples sur R
- Primitives des éléments simples
Groupe symétrique
- Structure de groupe et cardinal
- Stabilité du support
- Inverse et ordre d'un cycle
- Permutations à supports disjoints
- Conjugué d'un cycle
- Forme d'une orbite
- Décomposition en cycles à supports disjoints
- Ordre d'une permutation
- Décomposition d'un cycle
- Les transpositions engendrent $\mathfrak{S}_n$
- Formule produit
- La signature est un morphisme
- Signature d'une transposition
- Caractérisation de la signature
- Conséquences pratiques
- Sous-groupe et cardinal