Erreurs fréquentes : Équations différentielles linéaires (Prépa, 1re année)
Ce chapitre donne les méthodes pour résoudre les équations linéaires du premier ordre à coefficients variables et celles du second ordre à coefficients constants, avec ou sans condition initiale. Ces équations modélisent la plupart des phénomènes étudiés en physique, et leur résolution sert à chaque épreuve écrite ou orale.
Appliquer la formule $\lambda e^{-A}$ à $xy'+y=0$ avec $a(x)=1$, sans diviser par $x$.
La formule ne vaut que pour la forme normalisée $y'+a(x)y=b(x)$. On divise par le coefficient de $y'$, ce qui impose de travailler sur un intervalle où il ne s'annule pas : ici $a(x)=\frac1x$ sur $]0,+\infty[$ ou $]-\infty,0[$.
Écrire $\lambda e^{A(x)}$ comme solution de $y'+a(x)y=0$.
Le signe est négatif : $\lambda e^{-A(x)}$. Une vérification en une ligne (dériver et remplacer) détecte l'erreur.
Utiliser la condition initiale pour fixer une constante dans la solution particulière, puis ajouter la solution homogène.
On écrit d'abord la solution générale $y_p+y_h$, puis on impose la ou les conditions initiales à cette expression complète.
Chercher une solution particulière $Ae^{\mu x}$ alors que $\mu$ est racine de l'équation caractéristique.
Si $\chi(\mu)=0$, la fonction $Ae^{\mu x}$ est solution de l'homogène et ne peut pas produire le second membre. On multiplie par $x$ (racine simple) ou par $x^2$ (racine double).
Pour $y''+ay'+by=\cos(\omega x)$, chercher $y_p=\alpha\cos(\omega x)$ seul.
Dès que $a\neq0$, la dérivée fait apparaître un sinus : il faut $\alpha\cos(\omega x)+\beta\sin(\omega x)$. Le plus sûr est de passer par $e^{i\omega x}$ et de prendre la partie réelle.
Prendre la partie réelle d'une solution complexe alors que les coefficients $a$, $b$ ne sont pas réels.
La méthode de la partie réelle repose sur $\mathrm{Re}(az)=a\,\mathrm{Re}(z)$, vrai seulement pour $a$ réel. Avec des coefficients complexes, on utilise $\cos(\omega x)=\frac{e^{i\omega x}+e^{-i\omega x}}{2}$ et la superposition.
Dans le cas $\Delta<0$ avec racines $\alpha\pm i\beta$, écrire les solutions $e^{\alpha x}(\lambda\cos(\beta^2x)+\mu\sin(\beta^2x))$ ou oublier le facteur $e^{\alpha x}$.
Les solutions réelles sont $e^{\alpha x}\big(\lambda\cos(\beta x)+\mu\sin(\beta x)\big)$ où $\alpha$ et $\beta$ sont la partie réelle et la partie imaginaire d'une racine. Pour $r^2+2r+5=0$, les racines sont $-1\pm2i$, donc $\alpha=-1$ et $\beta=2$.
Affirmer que les solutions de $xy'-2y=0$ sur $\mathbb{R}$ sont les $\lambda x^2$.
Sur une réunion d'intervalles, les constantes sont indépendantes sur chaque intervalle, et le raccordement en $0$ doit être étudié. Ici on obtient $\lambda x^2$ pour $x\geqslant0$ et $\mu x^2$ pour $x<0$, avec $\lambda$ et $\mu$ indépendants.