QCM : Équations différentielles linéaires (Prépa, 1re année)
Ce chapitre donne les méthodes pour résoudre les équations linéaires du premier ordre à coefficients variables et celles du second ordre à coefficients constants, avec ou sans condition initiale. Ces équations modélisent la plupart des phénomènes étudiés en physique, et leur résolution sert à chaque épreuve écrite ou orale.
Quelles sont les solutions sur $\mathbb{R}$ de l'équation $y'+3x^2y=0$ ?
Ici $a(x)=3x^2$, dont une primitive est $A(x)=x^3$. Les solutions sont $\lambda e^{-A(x)}=\lambda e^{-x^3}$. Le choix $\lambda e^{x^3}$ vient d'une erreur de signe. Le choix $\lambda e^{-3x^2}$ met $a$ à la place de sa primitive dans l'exponentielle. La constante est multiplicative, pas additive : $e^{-x^3}+\lambda$ n'est pas solution si $\lambda\neq0$.
Quelles sont les solutions sur $\mathbb{R}$ de $(1+x^2)y'+2xy=0$ ?
Comme $1+x^2$ ne s'annule pas, on normalise : $y'+\dfrac{2x}{1+x^2}y=0$. Une primitive de $a$ est $A(x)=\ln(1+x^2)$, donc $e^{-A(x)}=\dfrac{1}{1+x^2}$. Le choix $\lambda e^{-2x}$ provient de l'oubli de la normalisation. Le choix $\lambda e^{-x^2}$ divise mal ou ne divise pas. Le choix $\lambda(1+x^2)$ résulte d'une erreur de signe dans l'exponentielle.
Quelles sont les solutions sur $]0,+\infty[$ de $y'+\dfrac{y}{x}=1$ ?
L'homogène a pour solutions $\dfrac{\lambda}{x}$. Par variation de la constante, avec $y=\dfrac{\lambda(x)}{x}$, on obtient $\dfrac{\lambda'(x)}{x}=1$, donc $\lambda'(x)=x$ et $\lambda(x)=\dfrac{x^2}{2}$. On en déduit $y_p=\dfrac{x}{2}$. Le choix $\dfrac{x^2}{2}+\dfrac Cx$ oublie de multiplier $\lambda(x)$ par $\dfrac1x$. Le choix $\dfrac x2$ seul oublie la solution homogène. On vérifie que $x+\dfrac Cx$ donne $y'+\dfrac yx=2$.
Quelle est l'unique solution de $y'-2y=4$ sur $\mathbb{R}$ vérifiant $y(0)=1$ ?
La fonction constante $y_p=-2$ est solution, car $0-2\cdot(-2)=4$. La solution générale est $-2+\lambda e^{2x}$, et $y(0)=-2+\lambda=1$ donne $\lambda=3$. Le choix $e^{2x}-2$ revient à poser $\lambda=y_0$ sans tenir compte de $y_p$. Le choix $3e^{-2x}-2$ comporte une erreur de signe dans l'homogène. Le choix $2-e^{2x}$ vient de la solution particulière fausse $y_p=2$.
Quelles sont les solutions réelles de $y''-4y'+4y=0$ ?
L'équation caractéristique est $r^2-4r+4=(r-2)^2=0$. La racine $2$ est double, d'où les solutions $(\lambda x+\mu)e^{2x}$. Le choix $(\lambda+\mu)e^{2x}$ oublie le facteur $x$ : il ne décrit qu'une droite de solutions. Le choix $(\lambda x+\mu)e^{-2x}$ comporte une erreur de signe sur la racine. Le choix $\lambda e^{2x}+\mu e^{-2x}$ correspond à $r^2-4=0$.
Quelles sont les solutions réelles de $y''+2y'+10y=0$ ?
On a $\Delta=4-40=-36$, donc les racines sont $-1\pm3i$. On en tire $\alpha=-1$ et $\beta=3$, d'où les solutions $e^{-x}(\lambda\cos3x+\mu\sin3x)$. Le choix $e^{x}(\dots)$ comporte une erreur de signe sur $\alpha=-\dfrac a2$. Le choix sans exponentielle oublie le facteur $e^{\alpha x}$. Le choix $\cos 9x$ utilise $\beta^2$ au lieu de $\beta$.
Pour l'équation $y''-y'-2y=xe^{2x}$, sous quelle forme cherche-t-on une solution particulière ($\alpha,\beta$ constantes) ?
On a $\chi(r)=r^2-r-2=(r-2)(r+1)$, donc $\mu=2$ est racine simple. On cherche alors $Q(x)=xR(x)$ avec $\deg R=\deg P=1$. Le choix $(\alpha x+\beta)e^{2x}$ oublie la résonance : son terme $\beta e^{2x}$ est solution de l'homogène. Le choix $\alpha xe^{2x}$ multiplie bien par $x$ mais oublie que $R$ doit être de degré $1$. Le facteur $x^2$ est réservé aux racines doubles.
Quelle fonction est une solution particulière de $y''+y=\cos x$ ?
On résout $z''+z=e^{ix}$. Comme $i$ est racine simple de $r^2+1$ et $\chi'(i)=2i$, on a $z_p=\dfrac{xe^{ix}}{2i}=\dfrac x2\sin x-i\dfrac x2\cos x$. La partie réelle donne $y_p=\dfrac x2\sin x$. Vérification : $y_p''=\cos x-\dfrac x2\sin x$, donc $y_p''+y_p=\cos x$. Le choix $-\dfrac x2\cos x$ prend la partie imaginaire, qui convient pour le second membre $\sin x$. Le choix $x\sin x$ oublie de diviser par $\chi'(i)$.
Quelle fonction est une solution particulière de $y''-y=e^{x}+1$ ?
On applique la superposition. Pour $e^x$ : $1$ est racine simple de $r^2-1$ et $\chi'(1)=2$, donc $\dfrac x2e^x$ convient. Pour $1$ : la constante $c$ vérifie $-c=1$, donc $c=-1$. Le choix $+1$ oublie le signe imposé par $\chi(0)=-1$. Le choix $xe^x-1$ oublie de diviser par $\chi'(1)$. Enfin, $\dfrac12e^x$ est solution de l'homogène, qui ne peut pas produire $e^x$.
Combien l'équation $xy'-2y=0$ admet-elle de solutions sur $\mathbb{R}$ tout entier vérifiant $y(0)=0$ ?
Sur $]0,+\infty[$ et sur $]-\infty,0[$, les solutions sont respectivement $\lambda x^2$ et $\mu x^2$. Le raccordement en $0$ fonctionne pour tous $\lambda,\mu$ indépendants, et toutes ces fonctions vérifient $y(0)=0$. Le théorème de Cauchy ne s'applique pas, car le coefficient de $y'$ s'annule en $0$. Le choix des seules fonctions $\lambda x^2$ oublie que les constantes sont indépendantes sur chaque intervalle.