Fiche résumé : Équations différentielles linéaires (Prépa, 1re année)

Ce chapitre donne les méthodes pour résoudre les équations linéaires du premier ordre à coefficients variables et celles du second ordre à coefficients constants, avec ou sans condition initiale. Ces équations modélisent la plupart des phénomènes étudiés en physique, et leur résolution sert à chaque épreuve écrite ou orale.

Cadre : $I$ intervalle, $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$, coefficients et second membre continus.
Structure : solution générale $=$ solution particulière $+$ solution générale de l'homogène.
Superposition : si $L(y_1)=b_1$ et $L(y_2)=b_2$, alors $L(\lambda_1y_1+\lambda_2y_2)=\lambda_1b_1+\lambda_2b_2$.
Premier ordre homogène : $y'+a(x)y=0$ a pour solutions $\lambda e^{-A(x)}$, avec $A$ primitive de $a$.
Variation de la constante : $y=\lambda(x)e^{-A(x)}$ donne $\lambda'(x)=b(x)e^{A(x)}$.
Cauchy, premier ordre : pour $x_0\in I$, $y_0\in\mathbb{K}$, unique solution avec $y(x_0)=y_0$ : $$y(x)=e^{-A(x)}\Big(y_0+\int_{x_0}^x b(t)e^{A(t)}dt\Big),\quad A(x)=\int_{x_0}^x a.$$
Premier ordre, $a$ constant, second membre $P(x)e^{\mu x}$ : $y_p=Q(x)e^{\mu x}$, $\deg Q=\deg P$ si $\mu\neq-a$, $\deg Q=\deg P+1$ si $\mu=-a$.
Second ordre homogène : équation caractéristique $r^2+ar+b=0$.
- $\Delta\neq0$ : $\lambda e^{r_1x}+\mu e^{r_2x}$.
- $\Delta=0$ : $(\lambda x+\mu)e^{r_0x}$.
- Cas réel, $\Delta<0$, racines $\alpha\pm i\beta$ : $e^{\alpha x}(\lambda\cos\beta x+\mu\sin\beta x)$.
Cauchy, second ordre (admis) : unique solution avec $y(x_0)=y_0$, $y'(x_0)=y_1$.
Second membre $P(x)e^{\mu x}$ : $y_p=Q(x)e^{\mu x}$ avec $Q$ de degré $\deg P$, multiplié par $x$ si $\mu$ racine simple, par $x^2$ si racine double.
Second membre $Ae^{\mu x}$ : $\frac{A}{\chi(\mu)}e^{\mu x}$, ou $\frac{A}{\chi'(\mu)}xe^{\mu x}$ (racine simple), ou $\frac A2x^2e^{\mu x}$ (racine double).
Second membre $B\cos\omega x$ ou $B\sin\omega x$ (coefficients réels) : résoudre avec $Be^{i\omega x}$, prendre $\mathrm{Re}$ ou $\mathrm{Im}$.
Équation non normalisée : résoudre sur chaque intervalle où le coefficient de $y'$ ne s'annule pas, puis étudier le raccordement (continuité, dérivabilité, équation au point).