Erreurs fréquentes : Espaces vectoriels et applications linéaires (Prépa, 1re année)
Ce chapitre fournit le langage commun de l'algèbre linéaire : vecteurs de $\mathbb{K}^n$, polynômes, fonctions, suites et matrices s'y traitent avec les mêmes outils. On y apprend à décomposer un espace en somme directe, à étudier une application linéaire par son noyau et son image, et à reconnaître projecteurs et symétries.
Affirmer que la réunion $F\cup G$ de deux sous-espaces est un sous-espace vectoriel.
C'est faux en général : dans $\mathbb{R}^2$, $(1,0)$ et $(0,1)$ sont dans la réunion des deux axes, pas leur somme. Le bon objet est la somme $F+G$, plus petit sev contenant $F$ et $G$. La réunion n'est un sev que si l'un des deux est inclus dans l'autre.
Montrer seulement la stabilité par combinaison linéaire, sans vérifier que $0_E\in F$ (ou que $F$ est non vide).
L'ensemble vide est stable par combinaison linéaire mais n'est pas un sev. Il faut toujours vérifier $0_E\in F$ ; c'est d'ailleurs le premier test pour éliminer une partie comme $\{(x,y)\mid x+y=1\}$.
Conclure que $E=F\oplus G$ après avoir seulement prouvé $F\cap G=\{0_E\}$.
$F\cap G=\{0_E\}$ prouve seulement que la somme $F+G$ est directe. Pour des supplémentaires, il faut aussi $F+G=E$ : tout vecteur de $E$ doit se décomposer. L'analyse-synthèse donne les deux d'un coup.
Croire qu'une famille dont les vecteurs sont deux à deux non colinéaires est libre.
La famille $((1,0),(0,1),(1,1))$ de $\mathbb{R}^2$ est formée de vecteurs deux à deux non colinéaires, mais elle est liée : $(1,1)=(1,0)+(0,1)$. La non-colinéarité ne caractérise la liberté que pour deux vecteurs. Il faut revenir à la définition avec une combinaison linéaire nulle.
Parler « du » supplémentaire de $F$, ou le confondre avec le complémentaire $E\setminus F$.
Un sev admet en général une infinité de supplémentaires (toute droite non horizontale est un supplémentaire de l'axe des abscisses dans $\mathbb{R}^2$). Le complémentaire ensembliste ne contient pas $0_E$ et n'est jamais un sev.
Déduire la bijectivité d'un endomorphisme de $\ker f=\{0_E\}$ sans hypothèse de dimension.
$\ker f=\{0_E\}$ donne seulement l'injectivité. En dimension infinie, $P\mapsto XP$ sur $\mathbb{K}[X]$ est injective mais pas surjective. La surjectivité se prouve à part, sauf en dimension finie (chapitre suivant).
Inverser noyau et image d'un projecteur, ou appeler projecteur une application sans vérifier $p\circ p=p$.
Le projecteur sur $F$ parallèlement à $G$ a pour image $F$ et pour noyau $G$. Pour reconnaître un projecteur, on vérifie la linéarité et $p\circ p=p$, puis on calcule $\operatorname{Im} p=\{x\mid p(x)=x\}$ et $\ker p$.
Considérer comme linéaire une application affine comme $x\mapsto 2x+3$ ou $(x,y)\mapsto(x+1,y)$.
Une application linéaire vérifie $f(0_E)=0_F$. Ici l'image de $0$ n'est pas nulle, donc ces applications ne sont pas linéaires. Le test $f(0_E)$ est rapide et suffit pour conclure à la non-linéarité ; il ne suffit pas pour prouver la linéarité.