Fiche résumé : Espaces vectoriels et applications linéaires (Prépa, 1re année)

Ce chapitre fournit le langage commun de l'algèbre linéaire : vecteurs de $\mathbb{K}^n$, polynômes, fonctions, suites et matrices s'y traitent avec les mêmes outils. On y apprend à décomposer un espace en somme directe, à étudier une application linéaire par son noyau et son image, et à reconnaître projecteurs et symétries.

Sous-espace vectoriel : $F\subset E$ est un sev si et seulement si $0_E\in F$ et $\forall x,y\in F,\ \forall\lambda,\mu\in\mathbb{K},\ \lambda x+\mu y\in F$.
Une intersection de sev est un sev ; une réunion ne l'est pas en général.
$\mathrm{Vect}(x_1,\ldots,x_p)$ = ensemble des combinaisons linéaires des $x_i$ = plus petit sev contenant les $x_i$.
Libre : $\sum\lambda_ix_i=0_E\Rightarrow$ tous les $\lambda_i$ nuls. Liée : l'un des vecteurs est combinaison linéaire des autres.
Génératrice : $\mathrm{Vect}(x_i)=E$. Base : libre et génératrice, équivalent à l'existence et l'unicité des coordonnées.
Polynômes non nuls de degrés deux à deux distincts (échelonnés) : famille libre.
$F+G=\{x+y\}$ ; somme directe $\iff$ $F\cap G=\{0_E\}$ (pour deux sev seulement).
$E=F\oplus G$ $\iff$ $E=F+G$ et $F\cap G=\{0_E\}$ $\iff$ tout $x$ s'écrit de façon unique $x_F+x_G$. Méthode type : analyse-synthèse.
Exemples : $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})=\mathcal{P}\oplus\mathcal{I}$ ; $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})=\mathcal{S}_n(\mathbb{K})\oplus\mathcal{A}_n(\mathbb{K})$.
Linéaire : $f(\lambda x+\mu y)=\lambda f(x)+\mu f(y)$ ; alors $f(0_E)=0_F$.
Composée et combinaison linéaire d'applications linéaires : linéaires. Réciproque d'un isomorphisme : linéaire.
$\ker f$ sev de $E$, $\operatorname{Im} f$ sev de $F$. $f$ injective $\iff\ker f=\{0_E\}$ ; $f$ surjective $\iff\operatorname{Im} f=F$.
Si $(e_i)$ engendre $E$ : $\operatorname{Im} f=\mathrm{Vect}(f(e_i))$.
Si $(e_i)$ base de $E$ : $f$ injective $\iff$ $(f(e_i))$ libre ; surjective $\iff$ génératrice ; isomorphisme $\iff$ base.
Une application linéaire est déterminée de façon unique par les images d'une base (choisies librement), ou par ses restrictions à deux supplémentaires.
Solutions de $f(x)=b$ : vide, ou $x_0+\ker f$.
Projecteur sur $F$ parallèlement à $G$ : $p(x)=x_F$. $p\circ p=p$, $\operatorname{Im} p=F=\ker(p-\mathrm{id})$, $\ker p=G$. $\mathrm{id}-p$ : projecteur sur $G$ parallèlement à $F$.
Réciproque : $p\in\mathcal{L}(E)$ et $p\circ p=p$ $\Rightarrow$ $E=\operatorname{Im} p\oplus\ker p$ et $p$ projecteur sur $\operatorname{Im} p$ parallèlement à $\ker p$.
Symétrie par rapport à $F$ parallèlement à $G$ : $s(x)=x_F-x_G$, $s=2p-\mathrm{id}$, $s\circ s=\mathrm{id}$.
Réciproque : $s\in\mathcal{L}(E)$ et $s\circ s=\mathrm{id}$ $\Rightarrow$ $E=\ker(s-\mathrm{id})\oplus\ker(s+\mathrm{id})$, avec $x=\frac{x+s(x)}{2}+\frac{x-s(x)}{2}$.