Erreurs fréquentes : Fonctions usuelles (Prépa, 1re année)
Logarithme, exponentielle, puissances, fonctions hyperboliques et fonctions circulaires réciproques servent dans chaque chapitre d'analyse de l'année : on les dérive, on les compare, on les inverse. Ce chapitre fixe leurs définitions, leurs dérivées, l'allure de leurs courbes et les formules à connaître, en s'appuyant sur le théorème de la bijection.
Écrire $\arcsin(\sin x) = x$ pour tout réel $x$.
C'est vrai seulement pour $x \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$. Sinon, on cherche l'unique réel de cet intervalle qui a le même sinus que $x$ : par exemple, $\arcsin\left(\sin\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{\pi}{6}$. L'égalité dans l'autre sens, $\sin(\arcsin y) = y$, est vraie pour tout $y \in [-1, 1]$.
Croire que $\arccos$ est impaire comme $\arcsin$, et écrire $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{3}$.
$\arccos$ prend ses valeurs dans $[0, \pi]$ : elle ne peut pas être négative. La bonne relation est $\arccos(-x) = \pi - \arccos x$, d'où $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3}$.
Conclure de $f' = 0$ sur $\mathbb{R}^*$ que $\arctan x + \arctan\frac{1}{x} = \frac{\pi}{2}$ pour tout $x \neq 0$.
Une fonction de dérivée nulle n'est constante que sur un intervalle. Sur $]0, +\infty[$ la somme vaut $\frac{\pi}{2}$, sur $]-\infty, 0[$ elle vaut $-\frac{\pi}{2}$.
Dériver $a^x$ en $x a^{x-1}$, ou $x^x$ en $x \cdot x^{x-1}$.
$(a^x)' = (\ln a)\, a^x$ car la base est fixe. Quand base et exposant varient, on écrit $x^x = e^{x \ln x}$ et on dérive l'exposant : $(x^x)' = (1 + \ln x)\, x^x$.
Écrire $(-8)^{1/3} = e^{\frac{1}{3}\ln(-8)}$, ou $\ln(x^2) = 2 \ln x$ pour tout $x \neq 0$.
$a^b = e^{b \ln a}$ exige $a > 0$. La racine cubique de $-8$ vaut $-2$ et se définit comme réciproque de $x \mapsto x^3$ sur $\mathbb{R}$. Pour $x \neq 0$, $\ln(x^2) = 2 \ln|x|$.
Écrire $\operatorname{ch}^2 x + \operatorname{sh}^2 x = 1$ ou $\operatorname{ch}' = -\operatorname{sh}$, par analogie avec $\cos$ et $\sin$.
La relation est $\operatorname{ch}^2 x - \operatorname{sh}^2 x = 1$ (en fait $\operatorname{ch}^2 x + \operatorname{sh}^2 x = \operatorname{ch}(2x)$). Les dérivées sont $\operatorname{ch}' = \operatorname{sh}$ et $\operatorname{sh}' = \operatorname{ch}$, sans aucun signe moins. En cas de doute, revenir aux exponentielles.
Confondre $\arctan x$ et $\dfrac{1}{\tan x}$, à cause de la notation $\tan^{-1}$ des calculatrices.
$\arctan$ est la réciproque de $\tan$ restreinte à $\left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[$ pour la composition, pas son inverse pour la multiplication. Par exemple, $\arctan 1 = \frac{\pi}{4}$ alors que $\frac{1}{\tan 1} \approx 0{,}64$.
Déduire $a = b$ de $\tan a = \tan b$ (ou de $\sin a = \sin b$) sans localiser $a$ et $b$.
$\tan a = \tan b$ donne seulement $a \equiv b \pmod{\pi}$. Il faut d'abord montrer que $a$ et $b$ appartiennent à un même intervalle où la fonction est injective, par exemple $\left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[$ pour $\tan$.