Fiche résumé : Fonctions usuelles (Prépa, 1re année)

Logarithme, exponentielle, puissances, fonctions hyperboliques et fonctions circulaires réciproques servent dans chaque chapitre d'analyse de l'année : on les dérive, on les compare, on les inverse. Ce chapitre fixe leurs définitions, leurs dérivées, l'allure de leurs courbes et les formules à connaître, en s'appuyant sur le théorème de la bijection.

Théorème de la bijection : $f$ continue et strictement monotone sur un intervalle $I$ $\Rightarrow$ $f$ est une bijection de $I$ sur l'intervalle $f(I)$ (bornes = limites aux bornes), et $f^{-1}$ est continue, de même monotonie.
Dérivée de la réciproque : si $f'(a) \neq 0$, $(f^{-1})'(f(a)) = \dfrac{1}{f'(a)}$. Si $f'(a) = 0$ : tangente verticale pour $f^{-1}$.
ln, exp : $\ln' = \frac{1}{x}$, $\exp' = \exp$, $\ln(xy) = \ln x + \ln y$, $e^{a+b} = e^a e^b$. $e^x \geq 1 + x$ sur $\mathbb{R}$ ; $\ln(1+x) \leq x$ sur $]-1, +\infty[$. En $0$ : $\frac{\ln(1+x)}{x} \to 1$ et $\frac{e^x - 1}{x} \to 1$. $\ln(x^2) = 2\ln|x|$, $(\ln|u|)' = \frac{u'}{u}$.
Puissances : $a^b = e^{b \ln a}$ pour $a > 0$. $(x^\alpha)' = \alpha x^{\alpha - 1}$ ; $(a^x)' = (\ln a)\, a^x$ ; $u^v = e^{v \ln u}$. $\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}$.
Croissances comparées ($\alpha, \beta > 0$) : en $+\infty$, $\frac{(\ln x)^\beta}{x^\alpha} \to 0$ et $\frac{x^\beta}{e^{\alpha x}} \to 0$ ; en $0^+$, $x^\alpha |\ln x|^\beta \to 0$.
Hyperboliques : $\operatorname{ch} x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$, $\operatorname{sh} x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$, $\operatorname{th} = \frac{\operatorname{sh}}{\operatorname{ch}}$. $\operatorname{ch}^2 - \operatorname{sh}^2 = 1$. $\operatorname{ch}' = \operatorname{sh}$, $\operatorname{sh}' = \operatorname{ch}$, $\operatorname{th}' = 1 - \operatorname{th}^2 = \frac{1}{\operatorname{ch}^2}$. $\operatorname{ch} \geq 1$ ; $\operatorname{sh}$ : bijection de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$ ; $\operatorname{th}$ : bijection de $\mathbb{R}$ sur $]-1, 1[$.
Circulaires : $\tan' = 1 + \tan^2 = \frac{1}{\cos^2}$ ; $\frac{\sin x}{x} \to 1$, $\frac{1 - \cos x}{x^2} \to \frac{1}{2}$ ; $|\sin x| \leq |x|$ ; formules d'addition, $\cos(2a) = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a$, $\tan(a+b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b}$.
arcsin : $[-1, 1] \to \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$, impaire, $\arcsin' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ sur $]-1, 1[$, $\cos(\arcsin x) = \sqrt{1 - x^2}$.
arccos : $[-1, 1] \to [0, \pi]$, $\arccos' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ sur $]-1, 1[$, $\arccos(-x) = \pi - \arccos x$, $\sin(\arccos x) = \sqrt{1 - x^2}$.
arctan : $\mathbb{R} \to \left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[$, impaire, $\arctan' = \frac{1}{1 + x^2}$, limites $\pm\frac{\pi}{2}$, $\cos(\arctan x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$.
Identités : $\arccos x + \arcsin x = \frac{\pi}{2}$ sur $[-1, 1]$ ; $\arctan x + \arctan\frac{1}{x} = \frac{\pi}{2}$ si $x > 0$, $-\frac{\pi}{2}$ si $x < 0$.
Pièges : $\arcsin(\sin x) = x$ seulement sur $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$, $\arccos(\cos x) = x$ seulement sur $[0, \pi]$, $\arctan(\tan x) = x$ seulement sur $\left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[$. Toujours localiser avant de conclure à une égalité d'angles.