QCM : Fonctions usuelles (Prépa, 1re année)
Logarithme, exponentielle, puissances, fonctions hyperboliques et fonctions circulaires réciproques servent dans chaque chapitre d'analyse de l'année : on les dérive, on les compare, on les inverse. Ce chapitre fixe leurs définitions, leurs dérivées, l'allure de leurs courbes et les formules à connaître, en s'appuyant sur le théorème de la bijection.
Que vaut $\arcsin\left(\sin\frac{3\pi}{4}\right)$ ?
$\arcsin$ prend ses valeurs dans $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$. Or $\sin\frac{3\pi}{4} = \sin\left(\pi - \frac{3\pi}{4}\right) = \sin\frac{\pi}{4}$, et $\frac{\pi}{4}$ appartient à cet intervalle. Le résultat est donc $\frac{\pi}{4}$. Le piège principal consiste à écrire $\arcsin(\sin x) = x$ sans vérifier que $x$ est dans l'intervalle de référence. La valeur $-\frac{\pi}{4}$ vient d'une confusion entre les symétries $\pi - x$ et $x - \pi$.
Que vaut $\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ ?
On utilise $\arccos(-x) = \pi - \arccos x$ : $\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$, qui appartient bien à $[0, \pi]$. La réponse $-\frac{\pi}{6}$ suppose à tort que $\arccos$ est impaire, et elle est négative, donc impossible. $\frac{7\pi}{6}$ a le bon cosinus mais n'est pas dans $[0, \pi]$. $\frac{2\pi}{3}$ correspond à $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)$.
Quelle est la dérivée sur $\mathbb{R}$ de $x \mapsto 2^x$ ?
On écrit $2^x = e^{x \ln 2}$. La dérivée d'une composée donne $(\ln 2)\, e^{x\ln 2} = (\ln 2)\, 2^x$. La réponse $x\, 2^{x-1}$ applique à tort la formule $(x^\alpha)' = \alpha x^{\alpha-1}$. Cette formule vaut pour un exposant fixe, alors qu'ici la base est fixe et l'exposant varie. La réponse $2^x$ confond $2^x$ avec $e^x$.
Que vaut $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{(\ln x)^3}{\sqrt{x}}$ ?
D'après les croissances comparées, pour $\alpha > 0$ et $\beta > 0$, $\frac{(\ln x)^\beta}{x^\alpha} \to 0$ en $+\infty$. On l'applique ici avec $\beta = 3$ et $\alpha = \frac{1}{2}$ : la limite vaut $0$. Le piège consiste à croire qu'un exposant $3$ sur le logarithme suffit à battre $\sqrt{x}$. Toute puissance strictement positive de $x$ l'emporte sur toute puissance de $\ln x$.
Que vaut $\cos(\arctan 2)$ ?
Posons $\theta = \arctan 2 \in \left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[$. Alors $\cos\theta > 0$ et $\cos^2\theta = \frac{1}{1+\tan^2\theta} = \frac{1}{5}$, donc $\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{5}}$. La réponse $\frac{2}{\sqrt{5}}$ est $\sin(\arctan 2)$. La dernière réponse confond $\arctan$, définie sur $\mathbb{R}$, avec $\arcsin$ et $\arccos$, définies sur $[-1, 1]$.
Pour tout réel $x$, à quoi est égal $\operatorname{ch}^2 x + \operatorname{sh}^2 x$ ?
On revient aux exponentielles. $\operatorname{ch}^2 x + \operatorname{sh}^2 x = \frac{(e^x+e^{-x})^2 + (e^x - e^{-x})^2}{4} = \frac{2e^{2x} + 2e^{-2x}}{4} = \operatorname{ch}(2x)$. La réponse $1$ vient de l'analogie fautive avec $\cos^2 + \sin^2 = 1$. La relation correcte est $\operatorname{ch}^2 - \operatorname{sh}^2 = 1$. La réponse $2\operatorname{ch}^2 x$ oublie le $-1$ : on a $\operatorname{ch}(2x) = 2\operatorname{ch}^2 x - 1$.
Soit $f : x \mapsto x^3 + x + 1$, bijection de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$. Que vaut $(f^{-1})'(3)$ ?
On cherche l'antécédent de $3$ : $f(1) = 3$, donc $f^{-1}(3) = 1$. Comme $f'(x) = 3x^2 + 1$, on a $f'(1) = 4 \neq 0$. Donc $(f^{-1})'(3) = \frac{1}{f'(1)} = \frac{1}{4}$. Le piège principal est d'évaluer $f'$ en $3$ au lieu de l'évaluer en $f^{-1}(3)$, ce qui donne $f'(3) = 28$ puis $\frac{1}{28}$. La réponse $4$ oublie de prendre l'inverse.
Que vaut $\arctan(-2) + \arctan\left(-\frac{1}{2}\right)$ ?
Pour $x < 0$, $\arctan x + \arctan\frac{1}{x} = -\frac{\pi}{2}$, et on applique cette formule avec $x = -2$. On peut aussi le voir par imparité : la somme vaut $-\left(\arctan 2 + \arctan\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{2}$. Le piège consiste à utiliser $\frac{\pi}{2}$ pour tout $x \neq 0$. Une dérivée nulle ne donne une fonction constante que sur un intervalle, et $\mathbb{R}^*$ n'en est pas un.
Quel est l'ensemble des solutions réelles de l'équation $\ln(x^2) = 2$ ?
L'équation a un sens pour $x \neq 0$. Elle équivaut à $x^2 = e^2$, soit $x = e$ ou $x = -e$. On peut aussi écrire $2\ln|x| = 2$, soit $|x| = e$. La réponse $\{e\}$ vient de l'écriture fautive $\ln(x^2) = 2\ln x$, qui n'est valable que pour $x > 0` et fait perdre la solution négative. La réponse ${e^2}$ oublie le carré.
Quelle est la dérivée de $x \mapsto \arcsin(2x)$ sur $\left]-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right[$ ?
On applique $(\arcsin u)' = \frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$ avec $u = 2x$. On a $u' = 2$ et $u^2 = 4x^2$, d'où $\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}$. La première réponse oublie le facteur $u' = 2$. La deuxième remplace $u^2$ par $2x^2$ au lieu de $(2x)^2$. La troisième met le signe moins de la dérivée de $\arccos$.