Erreurs fréquentes : Fractions rationnelles (Prépa, 1re année)
Une fraction rationnelle est un quotient de deux polynômes, et la décomposer en éléments simples revient à l'écrire comme une somme de termes élémentaires faciles à manipuler. Cette décomposition sert surtout à calculer des primitives de fonctions rationnelles et des sommes télescopiques, deux situations très fréquentes aux écrits comme aux oraux.
Décomposer directement $\dfrac{X^3+2X}{X^2-1}$ en $\dfrac{a}{X-1}+\dfrac{b}{X+1}$ en oubliant la partie entière.
Si $\deg F\geqslant 0$, la partie entière est non nulle. On commence toujours par comparer les degrés, puis on effectue la division euclidienne si nécessaire.
Lire les pôles sur une écriture non simplifiée, par exemple affirmer que $\dfrac{X^2-1}{X-1}$ a un pôle en $1$.
Pôles et multiplicités se lisent sur la forme irréductible. Ici $\dfrac{X^2-1}{X-1}=X+1$ n'a aucun pôle.
Appliquer la formule $\dfrac{P(a)}{Q'(a)}$ en un pôle multiple.
Cette formule ne vaut qu'en un pôle simple (en un pôle multiple $Q'(a)=0$). Pour un pôle d'ordre $m$, on multiplie par $(X-a)^m$ et on évalue en $a$, ce qui donne seulement le coefficient de $\dfrac{1}{(X-a)^m}$.
Écrire la partie polaire d'un pôle double en $a$ avec le seul terme $\dfrac{c}{(X-a)^2}$.
Un pôle de multiplicité $m$ fournit $m$ termes : $\dfrac{\lambda_1}{X-a}+\dots+\dfrac{\lambda_m}{(X-a)^m}$.
Prendre un numérateur constant pour un élément de seconde espèce : $\dfrac{c}{X^2+1}$ au lieu de $\dfrac{bX+c}{X^2+1}$.
Au-dessus d'un facteur irréductible de degré 2, le numérateur est affine $bX+c$. Il peut arriver que $b=0$ ou $c=0$, mais cela se démontre (par exemple par parité).
Traiter $X^2-3X+2$ comme un irréductible de $\mathbb{R}[X]$, ou croire $X^4+1$ irréductible parce qu'il n'a pas de racine réelle.
Un trinôme est irréductible sur $\mathbb{R}$ seulement si son discriminant est strictement négatif. Un polynôme réel de degré $\geqslant 3$ n'est jamais irréductible.
Identifier parties réelle et imaginaire dans $bz+c$ sans s'assurer que $b$ et $c$ sont réels, ou après une évaluation en une racine réelle.
L'identification n'est licite que parce que $b,c\in\mathbb{R}$ et $z\notin\mathbb{R}$. Sur $\mathbb{C}$, on calcule les coefficients de chaque pôle séparément.
Écrire $\ln(x-a)$ comme primitive de $\dfrac{1}{x-a}$ sur un intervalle où $x<a$, ou oublier de préciser l'intervalle.
Une primitive de $\dfrac{1}{x-a}$ est $\ln|x-a|$ sur un intervalle ne contenant pas $a$. En revanche $\ln(x^2+px+q)$ ne nécessite pas de valeur absolue quand $p^2-4q<0$.