Fiche résumé : Fractions rationnelles (Prépa, 1re année)

Une fraction rationnelle est un quotient de deux polynômes, et la décomposer en éléments simples revient à l'écrire comme une somme de termes élémentaires faciles à manipuler. Cette décomposition sert surtout à calculer des primitives de fonctions rationnelles et des sommes télescopiques, deux situations très fréquentes aux écrits comme aux oraux.

$\mathbb{K}(X)$ est un corps ; $\dfrac PQ=\dfrac{P_1}{Q_1}\iff PQ_1=P_1Q$.
Forme irréductible : $P\wedge Q=1$, unique si $Q$ unitaire.
$\deg\dfrac PQ=\deg P-\deg Q$ ; $\deg(F+G)\leqslant\max(\deg F,\deg G)$ ; $\deg(FG)=\deg F+\deg G$.
Zéros = racines de $P$, pôles = racines de $Q$, sur la forme irréductible.
Deux fractions égales en une infinité de points sont égales.
Partie entière : unique $E\in\mathbb{K}[X]$ avec $\deg(F-E)<0$ ; c'est le quotient de la division euclidienne de $P$ par $Q$ ; nulle si $\deg F<0$.
Sur $\mathbb{C}$ : $F=E+\displaystyle\sum_k\sum_{j=1}^{m_k}\frac{\lambda_{k,j}}{(X-a_k)^j}$, unique.
Sur $\mathbb{R}$ : termes $\dfrac{\lambda}{(X-a)^j}$ et $\dfrac{bX+c}{(X^2+pX+q)^j}$ avec $p^2-4q<0$, unique.
Pôle simple $a$ : $\lambda=\dfrac{P(a)}{Q'(a)}$.
Pôle d'ordre $m$ : multiplier par $(X-a)^m$ et évaluer en $a$ donne $\lambda_m$ ; le reste par $\lim_{x\to+\infty}xF(x)$, évaluation, parité, ou $X=a+h$.
Seconde espèce : multiplier par $X^2+pX+q$, évaluer en une racine complexe, identifier parties réelle et imaginaire ; ou regrouper deux pôles conjugués.
$F$ réelle : coefficients associés à $z$ et $\overline z$ conjugués ; $F$ paire ou impaire : la décomposition aussi.
$\dfrac{P'}{P}=\displaystyle\sum_k\frac{m_k}{X-a_k}$.
Primitives : $\ln|x-a|$ ; $-\dfrac{1}{(j-1)(x-a)^{j-1}}$ ; $\dfrac{1}{\delta}\arctan\dfrac{x+\alpha}{\delta}$ pour $\dfrac{1}{(x+\alpha)^2+\delta^2}$.
$\dfrac{bx+c}{x^2+px+q}$ : faire apparaître $2x+p$, puis forme canonique.
Somme télescopique : $\displaystyle\sum_{k=1}^n\big(g(k)-g(k+1)\big)=g(1)-g(n+1)$.