QCM : Fractions rationnelles (Prépa, 1re année)
Une fraction rationnelle est un quotient de deux polynômes, et la décomposer en éléments simples revient à l'écrire comme une somme de termes élémentaires faciles à manipuler. Cette décomposition sert surtout à calculer des primitives de fonctions rationnelles et des sommes télescopiques, deux situations très fréquentes aux écrits comme aux oraux.
Quels sont les pôles de $F=\dfrac{X^2-1}{X^3-X^2}$, avec leur multiplicité ?
On simplifie d'abord : $X^2-1=(X-1)(X+1)$ et $X^3-X^2=X^2(X-1)$, donc $F=\dfrac{X+1}{X^2}$, qui est irréductible. Le seul pôle est $0$, de multiplicité $2$. Le piège principal est de lire les pôles sur l'écriture non simplifiée : $1$ annule le dénominateur de départ, mais il annule aussi le numérateur et disparaît après simplification. Quant à $-1$, c'est un zéro de $F$, pas un pôle.
Quelle est la partie entière de $F=\dfrac{2X^3+X+1}{X^2+1}$ ?
On fait apparaître le dénominateur : $2X^3+X+1=2X(X^2+1)-X+1$. On obtient $F=2X+\dfrac{-X+1}{X^2+1}$, et le second terme est de degré $-1<0$. La partie entière vaut donc $2X$. Le choix $2$ vient d'une confusion avec le cas $\deg P=\deg Q$, où la partie entière est le quotient des coefficients dominants. Ici $\deg P>\deg Q$ : il faut la division euclidienne. Le choix $2X-1$ mélange le quotient et le reste.
Dans la décomposition en éléments simples de $F=\dfrac{X+1}{(X-2)(X+3)}$, quel est le coefficient de $\dfrac{1}{X-2}$ ?
Le pôle $2$ est simple. Avec $Q_1=X+3$, le coefficient vaut $\dfrac{P(2)}{Q_1(2)}=\dfrac{3}{5}$. On retrouve la même valeur par $\dfrac{P(2)}{Q'(2)}$, puisque $Q'=2X+1$ donne $Q'(2)=5$. Le choix $3$ revient à oublier de diviser par $Q_1(2)$. Le choix $\dfrac25$ est le coefficient relatif à l'autre pôle $-3$ : $\dfrac{-2}{-5}$.
On décompose $F=\dfrac{1}{(X-1)^2(X+1)}=\dfrac{a}{X+1}+\dfrac{b}{X-1}+\dfrac{c}{(X-1)^2}$. Que vaut $b$ ?
Pôle simple $-1$ : $a=\dfrac{1}{(-2)^2}=\dfrac14$. En multipliant par $(X-1)^2$ puis en évaluant en $1$ : $c=\dfrac12$. Quand $x\to+\infty$, $xF(x)\to 0$, et cette limite vaut aussi $a+b$. Donc $b=-a=-\dfrac14$. Le choix $\dfrac12$ confond $b$ avec $c$ : multiplier par $(X-a)^2$ et évaluer ne donne que le coefficient de plus haut ordre. Le choix $0$ revient à oublier que $b$ existe.
Quelle est la forme de la décomposition en éléments simples sur $\mathbb{R}$ de $F=\dfrac{1}{X(X^2+1)^2}$ ?
La partie entière est nulle car $\deg F=-5$. Le facteur $X$ donne un terme $\dfrac aX$. Le facteur irréductible $X^2+1$ figure avec l'exposant $2$ : il fournit deux termes, avec à chaque fois un numérateur affine. Deux erreurs classiques sont piégées : prendre des numérateurs constants au-dessus d'un facteur de degré 2, et ne garder qu'un seul terme pour un facteur élevé à une puissance supérieure ou égale à 2.
Lequel de ces polynômes est irréductible dans $\mathbb{R}[X]$ ?
Le trinôme $X^2+X+1$ a pour discriminant $-3<0$ : il est irréductible sur $\mathbb{R}$. Le polynôme $X^4+1$ n'a pas de racine réelle, mais il se factorise : $X^4+1=(X^2+\sqrt2X+1)(X^2-\sqrt2X+1)$. Ensuite, $X^2-2X+1=(X-1)^2$. Enfin, $X^3+1$ admet $-1$ pour racine. Le piège principal est de croire qu'un polynôme sans racine réelle est irréductible : c'est faux dès le degré 4.
Soit $P=(X-1)^3(X+2)$. Que vaut $\dfrac{P'}{P}$ ?
La dérivée logarithmique d'un produit est la somme des dérivées logarithmiques. On a $\dfrac{((X-1)^3)'}{(X-1)^3}=\dfrac{3(X-1)^2}{(X-1)^3}=\dfrac{3}{X-1}$. Les pôles de $\dfrac{P'}{P}$ sont donc tous simples, et la multiplicité de chaque racine apparaît au numérateur. Le premier choix oublie cette multiplicité. Les deux autres conservent à tort une puissance au dénominateur.
Laquelle de ces fonctions est une primitive sur $\mathbb{R}$ de $x\mapsto\dfrac{1}{x^2+2x+5}$ ?
La forme canonique s'écrit $x^2+2x+5=(x+1)^2+2^2$. On applique alors $\displaystyle\int\frac{\mathrm dx}{(x+\alpha)^2+\delta^2}=\frac1\delta\arctan\frac{x+\alpha}{\delta}$ avec $\delta=2$. Oublier le facteur $\dfrac1\delta$ donne le premier choix. Le facteur $\dfrac14$ vient d'une confusion avec $\dfrac1{\delta^2}$. Enfin, le logarithme serait une primitive de $\dfrac{2x+2}{x^2+2x+5}$, et non de la fonction proposée.
Que vaut $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+2)}$ ?
La décomposition s'écrit $\dfrac{1}{k(k+2)}=\dfrac12\left(\dfrac1k-\dfrac1{k+2}\right)$. Le télescopage se fait avec un décalage de $2$. Il reste donc deux termes au début et deux à la fin : $\displaystyle\sum_{k=1}^n\frac{1}{k(k+2)}=\frac12\left(1+\frac12-\frac1{n+1}-\frac1{n+2}\right)$, qui tend vers $\dfrac34$. Le choix $\dfrac12$ ne garde que le premier terme restant. Le choix $\dfrac32$ oublie le facteur $\dfrac12$. Le choix $1$ correspond à la somme de $\dfrac{1}{k(k+1)}$.
Dans la décomposition sur $\mathbb{C}$ de $F=\dfrac{1}{X^2+1}$, quel est le coefficient de $\dfrac{1}{X-i}$ ?
Le pôle $i$ est simple, et le coefficient vaut $\dfrac{P(i)}{Q'(i)}=\dfrac{1}{2i}=\dfrac{-i}{2}$, car $\dfrac1i=-i$. Par conjugaison, le coefficient de $\dfrac1{X+i}$ vaut $\dfrac i2$. On vérifie : $-\dfrac i2\cdot\dfrac{1}{X-i}+\dfrac i2\cdot\dfrac1{X+i}=\dfrac{-\frac i2\cdot 2i}{X^2+1}=\dfrac{1}{X^2+1}$. Le choix $\dfrac i2$ vient de l'erreur fréquente $\dfrac1i=i$. Les choix réels oublient le facteur imaginaire.