Erreurs fréquentes : Groupe symétrique (Prépa, 1re année)
Ce chapitre étudie les bijections d'un ensemble fini dans lui-même : comment les écrire, les décomposer en briques élémentaires (cycles, transpositions) et leur attacher un signe, la signature. Ces outils servent directement à la définition du déterminant, aux dénombrements et aux exercices de structure sur les groupes.
Composer de gauche à droite : calculer $\sigma\tau(x)$ en appliquant d'abord $\sigma$.
$\sigma\tau=\sigma\circ\tau$ : on applique d'abord $\tau$ (le facteur de droite). Ainsi $(1\ 2)(2\ 3)=(1\ 2\ 3)$ et non $(1\ 3\ 2)$.
Affirmer qu'un cycle de longueur $k$ a pour signature $(-1)^k$.
Un $k$-cycle est produit de $k-1$ transpositions, donc $\varepsilon=(-1)^{k-1}$. Une transposition ($k=2$) est impaire, un 3-cycle est pair.
Donner comme ordre d'une permutation le produit des longueurs de ses cycles disjoints.
L'ordre est le ppcm des longueurs : $(1\ 2)(3\ 4)$ est d'ordre 2, pas 4. De plus, ce résultat suppose les cycles à supports disjoints.
Faire commuter deux cycles qui ont des éléments en commun.
Seules les permutations à supports disjoints commutent à coup sûr. $(1\ 2)(2\ 3)\neq(2\ 3)(1\ 2)$.
Confondre l'écriture en deux lignes et l'écriture en cycle : lire $\begin{pmatrix}1&2&3\\ 2&3&1\end{pmatrix}$ comme le cycle $(2\ 3\ 1)$ par hasard juste, puis $\begin{pmatrix}1&2&3&4\\ 2&1&4&3\end{pmatrix}$ comme $(2\ 1\ 4\ 3)$.
La deuxième ligne n'est pas un cycle. On suit les images : $1\mapsto2\mapsto1$ et $3\mapsto4\mapsto3$, donc la permutation est $(1\ 2)(3\ 4)$.
Croire que la décomposition en transpositions est unique, ou que son nombre de facteurs est fixé.
Ni les facteurs ni leur nombre ne sont uniques ; seule la parité de ce nombre est déterminée, et elle vaut celle donnée par $\varepsilon(\sigma)$.
Dans la formule $\varepsilon(\sigma)=(-1)^{n-p}$, ne compter que les cycles non triviaux pour $p$.
$p$ est le nombre total d'orbites, points fixes compris. Pour $(1\ 2)\in\mathfrak{S}_4$ : orbites $\{1,2\},\{3\},\{4\}$, $p=3$, $\varepsilon=(-1)^{1}=-1$.
Écrire un cycle avec un élément répété, comme $(1\ 2\ 1\ 3)$, ou oublier qu'un cycle peut s'écrire de plusieurs façons et compter deux fois $(1\ 2\ 3)$ et $(2\ 3\ 1)$.
Les éléments d'un cycle sont deux à deux distincts, et $(a_1\ \cdots\ a_k)$ a exactement $k$ écritures, ce qui explique le facteur $\frac1k$ dans le nombre de $k$-cycles.