Fiche résumé : Groupe symétrique (Prépa, 1re année)

Ce chapitre étudie les bijections d'un ensemble fini dans lui-même : comment les écrire, les décomposer en briques élémentaires (cycles, transpositions) et leur attacher un signe, la signature. Ces outils servent directement à la définition du déterminant, aux dénombrements et aux exercices de structure sur les groupes.

$\mathfrak{S}_n$ : groupe des bijections de $[\![1,n]\!]$, loi $\circ$, cardinal $n!$, non commutatif pour $n\geqslant3$. Convention : $\sigma\tau=\sigma\circ\tau$, on applique $\tau$ d'abord.
Support : $\mathrm{Supp}(\sigma)=\{x\mid\sigma(x)\neq x\}$, stable par $\sigma$.
Cycle $(a_1\ \cdots\ a_k)$ : $a_i\mapsto a_{i+1}$, $a_k\mapsto a_1$, reste fixe. Ordre $k$. Inverse $(a_k\ \cdots\ a_1)$. $k$ écritures possibles ; nombre de $k$-cycles : $\frac{n!}{k(n-k)!}$.
Transposition $(a\ b)$ : $t^2=\mathrm{id}$, $\frac{n(n-1)}{2}$ transpositions.
Permutations à supports disjoints : elles commutent.
Conjugaison : $\gamma(a_1\ \cdots\ a_k)\gamma^{-1}=(\gamma(a_1)\ \cdots\ \gamma(a_k))$.
Théorème : toute permutation est produit de cycles à supports disjoints, de façon unique à l'ordre près ; les supports sont les orbites non triviales.
Ordre de $\sigma$ = ppcm des longueurs des cycles disjoints.
$(a_1\ \cdots\ a_k)=(a_1\ a_2)(a_2\ a_3)\cdots(a_{k-1}\ a_k)$ : $k-1$ transpositions. Les transpositions engendrent $\mathfrak{S}_n$.
Signature : $\varepsilon(\sigma)=(-1)^{I(\sigma)}=\prod_{i<j}\frac{\sigma(j)-\sigma(i)}{j-i}$.
$\varepsilon$ est un morphisme $\mathfrak{S}_n\to\{-1,1\}$ ; c'est l'unique morphisme envoyant toute transposition sur $-1$.
Calculs : transposition $\to-1$ ; $k$-cycle $\to(-1)^{k-1}$ ; produit de $r$ transpositions $\to(-1)^r$ ; $p$ orbites (points fixes compris) $\to(-1)^{n-p}$.
Un cycle de longueur paire est impair ; $\sigma$ est paire si et seulement si elle a un nombre pair de cycles de longueur paire.
$\mathfrak{A}_n=\ker\varepsilon$ : sous-groupe des permutations paires, de cardinal $\frac{n!}{2}$ pour $n\geqslant2$. $\mathfrak{A}_3=\{\mathrm{id},(1\ 2\ 3),(1\ 3\ 2)\}$, $|\mathfrak{A}_4|=12$.