Erreurs fréquentes : Probabilités sur un univers fini (Prépa, 1re année)
Ce chapitre fixe le cadre rigoureux du calcul des probabilités lorsque l'expérience n'a qu'un nombre fini d'issues : univers, événements, probabilité, conditionnement et indépendance. Il fournit les outils (probabilités composées, probabilités totales, formule de Bayes) qui servent ensuite pour les variables aléatoires et les problèmes de concours.
Confondre $P_B(A)$ et $P_A(B)$, par exemple prendre la probabilité qu'un test soit positif sachant la maladie pour la probabilité d'être malade sachant le test positif.
Écrire précisément quel événement est connu (celui en indice). Pour passer de $P_A(B)$ à $P_B(A)$, utiliser la formule de Bayes : $P_B(A)=\frac{P(A)P_A(B)}{P(B)}$.
Croire que deux événements incompatibles sont indépendants.
Incompatibles signifie $P(A\cap B)=0$. Si $P(A)>0$ et $P(B)>0$, alors $P(A)P(B)>0$ et les événements sont dépendants.
Déduire l'indépendance mutuelle de l'indépendance deux à deux.
L'indépendance mutuelle exige l'égalité produit pour toutes les sous-familles. Le contre-exemple des deux pièces ($A$, $B$, $C$ = « mêmes résultats ») montre que deux à deux ne suffit pas.
Écrire $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ sans vérifier que $A$ et $B$ sont incompatibles.
Dans le cas général, $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$. L'additivité simple n'est valable que pour des événements incompatibles.
Écrire $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ sans justification, notamment pour des tirages sans remise.
Le produit n'est valable que pour des événements indépendants, à justifier ou à citer comme hypothèse. Sinon, $P(A\cap B)=P(A)P_A(B)$ par la formule des probabilités composées.
Appliquer la formule des probabilités totales avec une famille qui n'est pas un système complet (événements qui se recouvrent ou qui ne couvrent pas $\Omega$).
Vérifier que les $A_i$ sont deux à deux incompatibles et de réunion $\Omega$. Le plus sûr est souvent le système complet $(A,\overline{A})$.
Écrire $P_{\overline{B}}(A)=1-P_B(A)$.
$P_B$ est une probabilité en l'événement $A$, pas en $B$. La bonne égalité est $P_B(\overline{A})=1-P_B(A)$.
Munir un univers de la probabilité uniforme alors que les issues ne sont pas équiprobables, par exemple $\{2,\dots,12\}$ pour la somme de deux dés.
Choisir un univers dont les issues sont réellement équiprobables (ici $\{1,\dots,6\}^2$), puis dénombrer.