Fiche résumé : Probabilités sur un univers fini (Prépa, 1re année)

Ce chapitre fixe le cadre rigoureux du calcul des probabilités lorsque l'expérience n'a qu'un nombre fini d'issues : univers, événements, probabilité, conditionnement et indépendance. Il fournit les outils (probabilités composées, probabilités totales, formule de Bayes) qui servent ensuite pour les variables aléatoires et les problèmes de concours.

Espace probabilisé fini $(\Omega,P)$ : $\Omega$ fini non vide, événements = parties de $\Omega$, $P:\mathcal{P}(\Omega)\to[0,1]$ avec $P(\Omega)=1$ et $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ si $A\cap B=\emptyset$.
Système complet $(A_1,\dots,A_n)$ : événements deux à deux incompatibles de réunion $\Omega$.
Propriétés : $P(\emptyset)=0$ ; $P(\overline{A})=1-P(A)$ ; $A\subset B\Rightarrow P(A)\leqslant P(B)$ et $P(B\setminus A)=P(B)-P(A)$ ; $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ ; $P\left(\bigcup A_i\right)\leqslant\sum P(A_i)$, avec égalité si les $A_i$ sont deux à deux incompatibles.
Distribution : $(p_\omega)$ positifs de somme $1$ définit une unique probabilité, $P(A)=\sum_{\omega\in A}p_\omega$.
Probabilité uniforme : $P(A)=\frac{\operatorname{card}A}{\operatorname{card}\Omega}$.
Probabilité conditionnelle ($P(B)>0$) : $P_B(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$ ; $P_B$ est une probabilité.
Probabilités composées ($P(A_1\cap\cdots\cap A_{n-1})>0$) : $P(A_1\cap\cdots\cap A_n)=P(A_1)P_{A_1}(A_2)\cdots P_{A_1\cap\cdots\cap A_{n-1}}(A_n)$.
Probabilités totales ($(A_i)$ système complet) : $P(B)=\sum_i P(B\cap A_i)=\sum_i P(A_i)P_{A_i}(B)$ (si $P(A_i)>0$).
Bayes : $P_B(A_j)=\frac{P(A_j)P_{A_j}(B)}{\sum_i P(A_i)P_{A_i}(B)}$.
Indépendance : $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ ; équivaut à $P_B(A)=P(A)$ si $P(B)>0$ ; stable par passage aux contraires.
Indépendance mutuelle : $P\left(\bigcap_{j\in J}A_j\right)=\prod_{j\in J}P(A_j)$ pour toute partie $J$ non vide ; plus forte que deux à deux ; stable si on remplace certains $A_i$ par leurs contraires.
Réflexes : « au moins un » se traite par le contraire ; incompatibles n'est pas indépendants ; citer le système complet et les hypothèses $P(\cdot)>0$ avant chaque formule.