Erreurs fréquentes : Variables aléatoires sur un univers fini (Prépa, 1re année)
Une variable aléatoire associe un nombre, ou un objet, au résultat d'une expérience aléatoire. On ne raisonne plus seulement sur des événements isolés : on étudie une loi, puis on la résume par l'espérance et la variance, et on contrôle les écarts à la moyenne par les inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev.
Écrire $E(XY)=E(X)E(Y)$ sans avoir justifié l'indépendance de $X$ et $Y$.
Cette égalité équivaut à $\mathrm{Cov}(X,Y)=0$, ce qui est faux en général (dans le couple de la section 3, $\mathrm{Cov}(X,Y)=\frac13$). On ne l'utilise qu'après avoir établi l'indépendance.
Croire que $\mathrm{Cov}(X,Y)=0$ entraîne l'indépendance.
Contre-exemple : $X\sim\mathcal U(\{-1,0,1\})$ et $Y=X^2$ ont une covariance nulle mais $P(X=0,Y=1)=0\neq P(X=0)P(Y=1)$.
Écrire $V(X+Y)=V(X)+V(Y)$ dans tous les cas, ou $V(X-Y)=V(X)-V(Y)$.
En général $V(X\pm Y)=V(X)+V(Y)\pm2\mathrm{Cov}(X,Y)$. Pour $X,Y$ indépendantes, $V(X-Y)=V(X)+V(Y)$ : les variances s'ajoutent toujours, car $V(-Y)=V(Y)$.
Écrire $V(aX+b)=aV(X)+b$ ou $\sigma(aX)=a\,\sigma(X)$.
La constante $b$ ne change pas la dispersion et le facteur sort au carré : $V(aX+b)=a^2V(X)$, $\sigma(aX+b)=|a|\sigma(X)$.
Écrire $E(f(X))=f(E(X))$, par exemple $E(X^2)=E(X)^2$ ou $E(\frac1X)=\frac1{E(X)}$.
C'est faux sauf si $f$ est affine. On calcule $E(f(X))=\sum_xf(x)P(X=x)$ par la formule de transfert. La différence $E(X^2)-E(X)^2$ est justement la variance.
Déduire la loi conjointe d'un couple à partir des seules lois marginales, en multipliant les probabilités.
$P(X=x,Y=y)=P(X=x)P(Y=y)$ n'est vrai que si $X$ et $Y$ sont indépendantes. Sinon, on calcule la loi conjointe à partir de l'expérience (probabilités composées, dénombrement).
Penser que des variables indépendantes deux à deux sont mutuellement indépendantes, ou inversement exiger l'indépendance mutuelle pour additionner les variances.
Indépendance deux à deux n'entraîne pas l'indépendance mutuelle (exemple de $Z=\mathbf 1_{(X=Y)}$). En revanche, pour $V(\sum X_i)=\sum V(X_i)$, l'indépendance deux à deux suffit.
Appliquer l'inégalité de Markov à une variable qui prend des valeurs négatives, ou reconnaître une loi binomiale dans un tirage sans remise.
Markov exige $X\geqslant0$. La loi binomiale exige des épreuves indépendantes de même paramètre : un tirage sans remise ne la donne pas.