Cours : Variables aléatoires sur un univers fini › Fiche résumé
Prépa · MPSI / MP2I
Fiche résumé : Variables aléatoires sur un univers fini (Prépa, 1re année)
Une variable aléatoire associe un nombre, ou un objet, au résultat d'une expérience aléatoire. On ne raisonne plus seulement sur des événements isolés : on étudie une loi, puis on la résume par l'espérance et la variance, et on contrôle les écarts à la moyenne par les inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev.
- Loi de $X$ : donnée de $X(\Omega)$ et des $P(X=x)$, avec $\sum_xP(X=x)=1$. Loi de $f(X)$ : $P(f(X)=y)=\sum_{f(x)=y}P(X=x)$.
- Lois usuelles :
| loi | $P(X=k)$ | $E(X)$ | $V(X)$ |
|---|---|---|---|
| $\mathcal U([\![1,n]\!])$ | $\frac1n$ | $\frac{n+1}2$ | $\frac{n^2-1}{12}$ |
| $\mathcal B(p)$ | $P(X=1)=p$ | $p$ | $p(1-p)$ |
| $\mathcal B(n,p)$ | $\binom nkp^k(1-p)^{n-k}$ | $np$ | $np(1-p)$ |
- Nombre de succès en $n$ épreuves indépendantes de paramètre $p$, ou somme de $n$ variables $\mathcal B(p)$ mutuellement indépendantes : loi $\mathcal B(n,p)$.
- Couples : marginales $P(X=x)=\sum_yP(X=x,Y=y)$ ; conditionnelle $P(Y=y\mid X=x)=\frac{P(X=x,Y=y)}{P(X=x)}$. Les marginales ne déterminent pas la loi conjointe.
- Indépendance : $P(X=x,Y=y)=P(X=x)P(Y=y)$ pour tous $x,y$. Alors $f(X)\perp\!\!\!\perp g(Y)$ ; lemme des coalitions. Mutuelle $\Rightarrow$ deux à deux, pas l'inverse.
- Espérance : $E(X)=\sum_xxP(X=x)=\sum_\omega X(\omega)P(\{\omega\})$. Linéaire, positive, croissante ; $E(\mathbf 1_A)=P(A)$.
- Transfert : $E(f(X))=\sum_xf(x)P(X=x)$, $E(g(X,Y))=\sum_{x,y}g(x,y)P(X=x,Y=y)$.
- Indépendantes $\Rightarrow E(XY)=E(X)E(Y)$ (réciproque fausse).
- Variance : $V(X)=E((X-E(X))^2)=E(X^2)-E(X)^2$ ; $V(aX+b)=a^2V(X)$ ; $V(X)=0\iff P(X=E(X))=1$.
- Covariance : $\mathrm{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$, bilinéaire symétrique ; nulle si indépendance (réciproque fausse).
- Variance d'une somme : $V(\sum X_i)=\sum V(X_i)+2\sum_{i<j}\mathrm{Cov}(X_i,X_j)$ ; $=\sum V(X_i)$ si deux à deux indépendantes.
- Méthode des indicatrices : $X=\sum\mathbf 1_{A_i}\Rightarrow E(X)=\sum P(A_i)$, sans hypothèse d'indépendance.
- Markov ($X\geqslant0$, $a>0$) : $P(X\geqslant a)\leqslant\frac{E(X)}a$.
- Bienaymé-Tchebychev ($a>0$) : $P(|X-E(X)|\geqslant a)\leqslant\frac{V(X)}{a^2}$.
- Fréquence $F_n=\frac{S_n}n$, $S_n\sim\mathcal B(n,p)$ : $P(|F_n-p|\geqslant\varepsilon)\leqslant\frac{p(1-p)}{n\varepsilon^2}\leqslant\frac1{4n\varepsilon^2}$.