Erreurs fréquentes : Arithmétique (Terminale)
Ce chapitre donne les outils pour raisonner sur les entiers : divisibilité, restes, diviseurs communs et nombres premiers. Ces outils permettent de résoudre des équations en nombres entiers et sont à la base des méthodes de chiffrement utilisées pour sécuriser les communications.
Écrire un reste négatif ou trop grand : « $-17 = 5 \times (-3) - 2$, donc le reste est $-2$ ».
Le reste de la division par $b > 0$ vérifie $0 \leqslant r < b$. Ici $-17 = 5 \times (-4) + 3$ : le reste est $3$.
Simplifier une congruence : « $4x \equiv 4y \;[6]$, donc $x \equiv y \;[6]$ ».
On ne peut diviser par $a$ que si $a$ et le modulo sont premiers entre eux (on multiplie alors par un inverse). Contre-exemple : $4 \times 2 \equiv 4 \times 5 \;[6]$ mais $2 \not\equiv 5 \;[6]$.
Appliquer le théorème de Gauss sans vérifier l'hypothèse : « $6 \mid 4 \times 3$, donc $6 \mid 4$ ou $6 \mid 3$ ».
Gauss exige $\mathrm{PGCD}(a, b) = 1$, et le lemme d'Euclide exige un diviseur premier. Il faut toujours écrire explicitement « $a$ et $b$ sont premiers entre eux » avant de conclure.
Conclure de $au + bv = d$ que $d = \mathrm{PGCD}(a, b)$.
La réciproque du théorème de Bézout ne vaut que pour $d = 1$. Par exemple $2 \times 4 + 3 \times (-2) = 2$ alors que $\mathrm{PGCD}(2, 3) = 1$. En général, on sait seulement que $\mathrm{PGCD}(a,b)$ divise $d$.
Croire que si $a \mid n$ et $b \mid n$, alors $ab \mid n$.
C'est vrai seulement si $a$ et $b$ sont premiers entre eux. Contre-exemple : $4 \mid 12$ et $6 \mid 12$, mais $24 \nmid 12$.
Oublier la réciproque dans la résolution d'une équation diophantienne ou d'une question « trouver les $n$ tels que… ».
Le raisonnement par divisibilité donne des conditions nécessaires. Il faut vérifier que les couples ou valeurs trouvés sont effectivement solutions.
Utiliser $a^{p-1} \equiv 1 \;[p]$ sans vérifier que $p$ est premier et ne divise pas $a$.
Si $p \mid a$, alors $a^{p-1} \equiv 0 \;[p]$. Si $p$ n'est pas premier, le résultat peut être faux : $2^3 = 8 \equiv 0 \;[4]$. Seule la forme $a^p \equiv a \;[p]$ vaut pour tout entier $a$, avec $p$ premier.
Utiliser la réciproque du petit théorème de Fermat : « $2^{n-1} \equiv 1 \;[n]$, donc $n$ est premier ».
Cette réciproque est fausse : $2^{340} \equiv 1 \;[341]$ alors que $341 = 11 \times 31$. Seule la contraposée permet de conclure, et elle prouve qu'un nombre n'est pas premier.