QCM : Arithmétique (Terminale)
Ce chapitre donne les outils pour raisonner sur les entiers : divisibilité, restes, diviseurs communs et nombres premiers. Ces outils permettent de résoudre des équations en nombres entiers et sont à la base des méthodes de chiffrement utilisées pour sécuriser les communications.
Quel est le reste de la division euclidienne de $-23$ par $6$ ?
On cherche $q$ et $r$ avec $-23 = 6q + r$ et $0 \leqslant r < 6$. On a $-23 = 6 \times (-4) + 1$, donc le reste est $1$. L'égalité $-23 = 6 \times (-3) - 5$ est vraie, mais $-5$ n'est pas un reste : il doit être positif. La réponse $5$ vient du reste de $23$, en oubliant le signe.
Quel est le chiffre des unités de $3^{2026}$ ?
$3^4 = 81 \equiv 1 \;[10]$ et $2026 = 4 \times 506 + 2$. Donc $3^{2026} = (3^4)^{506} \times 3^2 \equiv 9 \;[10]$. Le piège est une erreur sur le reste de l'exposant : $7$ correspond à un reste $3$ (c'est le cas de $3^{2027}$), $3$ à un reste $1$, et $1$ à un exposant supposé multiple de $4$.
Pour $n \in \mathbb{N}$, quelles valeurs peut prendre $\mathrm{PGCD}(n+5, n+2)$ ?
$\mathrm{PGCD}(n+5, n+2) = \mathrm{PGCD}(n+2, (n+5)-(n+2)) = \mathrm{PGCD}(n+2, 3)$, qui divise $3$ : il vaut $1$ ou $3$. Les deux valeurs sont atteintes : $n = 0$ donne $\mathrm{PGCD}(5,2) = 1$, et $n = 1$ donne $\mathrm{PGCD}(6,3) = 3$. Répondre « uniquement $1$ » revient à croire à tort que les deux expressions sont toujours premières entre elles, comme pour deux entiers consécutifs.
On constate que $12 \times 4 - 18 \times 2 = 12$. Que peut-on en déduire ?
Le PGCD divise $12$ et $18$, donc il divise toute combinaison $12u + 18v$, en particulier $12$. En revanche, la réciproque du théorème de Bézout ne vaut que pour $1$ : l'égalité $au + bv = d$ ne prouve pas que $d$ est le PGCD. Ici $\mathrm{PGCD}(12, 18) = 6 \neq 12$.
Quelles sont les solutions dans $\mathbb{Z}^2$ de l'équation $5x - 3y = 1$ ?
$(2 ; 3)$ est solution car $10 - 9 = 1$. Par différence, $5(x-2) = 3(y-3)$. $3$ divise $5(x-2)$ et $\mathrm{PGCD}(3,5) = 1$, donc $3 \mid x - 2$ par Gauss : $x = 2 + 3k$, puis $y = 3 + 5k$. Réciproquement, $5(2+3k) - 3(3+5k) = 1$. Le choix $(2+3k ; 3-5k)$ applique mécaniquement la formule de $ax + by = c$ en oubliant que le coefficient de $y$ est $-3$ ; le premier choix inverse les coefficients.
Quel entier compris entre $0$ et $25$ est un inverse de $7$ modulo $26$ ?
$7 \times 15 = 105 = 4 \times 26 + 1$, donc $7 \times 15 \equiv 1 \;[26]$. L'existence d'un inverse demande seulement $\mathrm{PGCD}(7, 26) = 1$, pas que le modulo soit premier. Le choix $4$ confond le quotient et l'inverse ; $11$ vérifie $7 \times 11 = 77 \equiv -1 \;[26]$, c'est une erreur de signe.
Combien l'entier $720$ a-t-il de diviseurs positifs ?
$720 = 2^4 \times 3^2 \times 5$. Le nombre de diviseurs positifs est $(4+1)(2+1)(1+1) = 30$. Les pièges : multiplier les exposants sans ajouter $1$ ($4 \times 2 \times 1 = 8$), les additionner ($7$), ou oublier le facteur $5$ ($5 \times 3 = 15$).
Pour démontrer que $307$ est premier, quelle liste de tests est à la fois suffisante et la plus courte ?
$17^2 = 289 \leqslant 307 < 361 = 19^2$, donc $17 \leqslant \sqrt{307} < 19$. Il suffit de tester les nombres premiers $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17$. S'arrêter à $13$ oublie $17$, qui est bien inférieur à $\sqrt{307}$. Tester tous les entiers ou aller jusqu'à $307/2$ est suffisant mais inutilement long.
Quel est le reste de la division euclidienne de $2^{2026}$ par $13$ ?
$13$ est premier et ne divise pas $2$, donc $2^{12} \equiv 1 \;[13]$. $2026 = 12 \times 168 + 10$, donc $2^{2026} \equiv 2^{10} = 1024 \;[13]$, et $1024 = 13 \times 78 + 10$. Le reste est $10$. Le choix $7$ vient d'une division de l'exposant par $13$ au lieu de $12$ ; le choix $3$ suppose à tort $2^6 \equiv 1 \;[13]$ (en fait $2^6 = 64 \equiv -1$).
Pour quelle valeur de $a$ le chiffrement affine $y \equiv ax + 3 \;[26]$ permet-il de retrouver chaque lettre ?
Le chiffrement est déchiffrable si et seulement si $\mathrm{PGCD}(a, 26) = 1$. Or $26 = 2 \times 13$ : $a$ ne doit être divisible ni par $2$ ni par $13$. Seul $11$ convient. Le piège : croire qu'il suffit que $a$ soit impair ou premier ; $13$ est les deux, mais $13 \times 2 \equiv 0 \;[26]$, donc A et C sont codées par la même lettre.