Erreurs fréquentes : Vecteurs, droites et plans de l'espace (Terminale)
Ce chapitre étend à l'espace le calcul vectoriel du plan pour décrire des droites et des plans, et pour décider s'ils se coupent. Il fournit les outils (bases, coordonnées, représentations paramétriques) utilisés dans tous les exercices de géométrie dans l'espace du baccalauréat.
Conclure que deux vecteurs de l'espace sont colinéaires parce que $xy' - x'y = 0$.
Ce critère ne porte que sur deux coordonnées. Il faut trouver un réel $k$ avec $\vec{v} = k\vec{u}$ et le vérifier sur les trois coordonnées.
Affirmer que deux droites sans point commun sont parallèles.
Dans l'espace, deux droites sans point commun peuvent être non coplanaires. Elles ne sont parallèles que si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
Utiliser le même paramètre $t$ pour les deux droites quand on cherche leur intersection.
Un point commun correspond en général à deux valeurs différentes des paramètres. On nomme $t$ le paramètre de $d_1$ et $s$ celui de $d_2$, puis on résout en $(t ; s)$.
Résoudre le système avec deux équations et oublier de vérifier la troisième.
Un système de trois équations à deux inconnues peut n'avoir aucune solution. La vérification de la troisième équation est ce qui distingue « sécantes » de « non coplanaires », ou « coplanaires » de « base ».
Penser que trois vecteurs deux à deux non colinéaires forment une base.
Ils peuvent être coplanaires, comme $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{AC}$ dans un cube. Il faut prouver qu'aucun n'est combinaison linéaire des deux autres.
Calculer les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ par « $A - B$ ».
On soustrait les coordonnées de l'origine à celles de l'extrémité : $\overrightarrow{AB}(x_B - x_A ; y_B - y_A ; z_B - z_A)$.
Croire que deux représentations paramétriques différentes décrivent forcément deux droites différentes.
Une droite a une infinité de représentations. On compare les vecteurs directeurs (colinéarité) puis on teste si un point de l'une est sur l'autre.
Placer sur une figure le point d'intersection de deux droites qui se croisent seulement en perspective.
Deux droites ne se coupent que si elles sont coplanaires. Il faut d'abord justifier qu'elles sont dans un même plan et non parallèles.