Fiche résumé : Vecteurs, droites et plans de l'espace (Terminale)

Ce chapitre étend à l'espace le calcul vectoriel du plan pour décrire des droites et des plans, et pour décider s'ils se coupent. Il fournit les outils (bases, coordonnées, représentations paramétriques) utilisés dans tous les exercices de géométrie dans l'espace du baccalauréat.

Colinéarité : $\vec{u}$, $\vec{v}$ colinéaires si l'un est nul ou $\vec{v} = k\vec{u}$. En coordonnées : les trois coordonnées proportionnelles.
$A$, $B$, $C$ alignés $\iff$ $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ colinéaires.
Droite passant par $A$, de vecteur directeur $\vec{u} \neq \vec{0}$ : $M \in d \iff \overrightarrow{AM} = t\vec{u}$, $t \in \mathbb{R}$.
Plan passant par $A$, dirigé par $\vec{u}$, $\vec{v}$ non colinéaires : $M \in \mathcal{P} \iff \overrightarrow{AM} = x\vec{u} + y\vec{v}$. Le plan $(ABC)$ est dirigé par $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$.
Coplanarité : si $\vec{u}$, $\vec{v}$ non colinéaires, $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ coplanaires $\iff$ $\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}$. $A$, $B$, $C$, $D$ coplanaires $\iff$ $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AD}$ coplanaires.
Base : trois vecteurs non coplanaires. Tout vecteur s'écrit de façon unique $\vec{w} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$.
Repère $(O ; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ : $M(x ; y ; z) \iff \overrightarrow{OM} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$.
$\overrightarrow{AB}(x_B - x_A ; y_B - y_A ; z_B - z_A)$ ; milieu : moyenne des coordonnées.
Représentation paramétrique de la droite passant par $A$, de vecteur directeur $\vec{u}(a ; b ; c)$ : $x = x_A + ta$, $y = y_A + tb$, $z = z_A + tc$, $t \in \mathbb{R}$. Non unique.
Point sur une droite : tirer $t$ d'une équation, vérifier les deux autres.
Deux droites : vecteurs directeurs colinéaires $\Rightarrow$ parallèles (confondues ou strictement). Sinon : système en $(t ; s)$ ; une solution $\Rightarrow$ sécantes, aucune $\Rightarrow$ non coplanaires.
Droite et plan : $\vec{w}$ combinaison de $\vec{u}$, $\vec{v}$ $\Rightarrow$ parallèles (incluse ou disjointe) ; sinon un unique point d'intersection.
Deux plans : parallèles (confondus ou strictement) ou sécants selon une droite.
Théorème du toit : deux plans sécants contenant deux droites parallèles se coupent selon une droite parallèle à ces deux droites.
Toujours : trois équations, deux inconnues $\Rightarrow$ résoudre avec deux, vérifier la troisième.