Vecteurs, droites et plans de l'espace
Ce chapitre fait partie du programme de Terminale.
Ce chapitre étend à l'espace le calcul vectoriel du plan pour décrire des droites et des plans, et pour décider s'ils se coupent. Il fournit les outils (bases, coordonnées, représentations paramétriques) utilisés dans tous les exercices de géométrie dans l'espace du baccalauréat.
Prérequis
- Vecteurs du plan : somme, relation de Chasles, multiplication par un réel, colinéarité (2de, 1re)
- Géométrie dans l'espace de 2de : solides usuels, perspective cavalière, règles d'incidence (un plan contenant deux points d'une droite contient cette droite)
- Coordonnées d'un vecteur et d'un milieu dans un repère du plan
- Résolution de systèmes linéaires à deux ou trois inconnues par substitution ou combinaison
À la fin du chapitre, on sait
- Manipuler les vecteurs de l'espace : sommes, combinaisons linéaires, relation de Chasles
- Reconnaître et démontrer la colinéarité de deux vecteurs et la coplanarité de trois vecteurs
- Caractériser une droite par un point et un vecteur directeur, un plan par un point et deux vecteurs non colinéaires
- Décomposer un vecteur dans une base de l'espace et utiliser les coordonnées dans un repère
- Écrire et exploiter une représentation paramétrique de droite
- Déterminer la position relative de deux droites, d'une droite et d'un plan, de deux plans
1.1. Vecteurs de l'espace et combinaisons linéaires
Les vecteurs de l'espace se définissent comme ceux du plan : à deux points $A$ et $B$ on associe le vecteur $\overrightarrow{AB}$, caractérisé par une direction, un sens et une longueur (si $A \neq B$). Toutes les règles de calcul vues dans le plan restent valables : somme, relation de Chasles, multiplication par un réel, règle du parallélogramme.
La seule nouveauté est qu'il faut désormais trois vecteurs bien choisis pour repérer tout l'espace, au lieu de deux dans le plan.
Vecteur et translation
Soit $\vec{u}$ un vecteur de l'espace. La translation de vecteur $\vec{u}$ associe à tout point $M$ l'unique point $M'$ tel que $\overrightarrow{MM'} = \vec{u}$.
Deux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont égaux si et seulement si $ABDC$ est un parallélogramme (éventuellement aplati). Pour tout point $A$ et tout vecteur $\vec{u}$, il existe un unique point $B$ tel que $\overrightarrow{AB} = \vec{u}$.
Règles de calcul
Pour tous points $A$, $B$, $C$ et tous vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$, tous réels $\lambda$, $\mu$ :
- relation de Chasles : $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ ;
- $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AA} = \vec{0}$ ;
- $\lambda(\vec{u} + \vec{v}) = \lambda\vec{u} + \lambda\vec{v}$ et $(\lambda + \mu)\vec{u} = \lambda\vec{u} + \mu\vec{u}$ ;
- $I$ est le milieu de $[AB]$ si et seulement si $\overrightarrow{AI} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$.
Combinaison linéaire
Un vecteur $\vec{w}$ est une combinaison linéaire des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ s'il existe deux réels $a$ et $b$ tels que $\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}$.
De même, $\vec{w}$ est combinaison linéaire de $\vec{u}_1, \dots, \vec{u}_n$ s'il existe des réels $a_1, \dots, a_n$ tels que $\vec{w} = a_1\vec{u}_1 + \dots + a_n\vec{u}_n$.
Calculs dans un cube
On considère un cube $ABCDEFGH$ : la face $ABCD$ est en bas, la face $EFGH$ en haut, et les arêtes verticales sont $[AE]$, $[BF]$, $[CG]$, $[DH]$.
Simplifions $\vec{s} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{FG} + \overrightarrow{CG}$.
La face $BCGF$ est un carré, donc $\overrightarrow{FG} = \overrightarrow{BC}$. Alors : $$\vec{s} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CG} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CG} = \overrightarrow{AG}.$$
De la même façon, $\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE}$ : le vecteur diagonal du cube est combinaison linéaire des trois arêtes issues de $A$.
Simplifier une somme de vecteurs dans un solide
- Remplacer certains vecteurs par des vecteurs égaux (faces en forme de parallélogramme, arêtes parallèles de même longueur) pour que l'extrémité de l'un soit l'origine du suivant.
- Appliquer la relation de Chasles de proche en proche.
- Vérifier sur la figure que le résultat est cohérent (même direction, même sens).
Vecteurs colinéaires
Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si l'un des deux est nul ou s'il existe un réel $k$ tel que $\vec{v} = k\vec{u}$.
Par convention, le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.
Colinéarité, alignement, parallélisme
- Trois points $A$, $B$, $C$ sont alignés si et seulement si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.
- Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles si et seulement si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.
2.2. Caractérisation vectorielle des droites et des plans
Droite de l'espace
Soit $A$ un point et $\vec{u}$ un vecteur non nul. La droite $d$ passant par $A$ et de vecteur directeur $\vec{u}$ est l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires, c'est-à-dire : $$M \in d \iff \text{il existe } t \in \mathbb{R} \text{ tel que } \overrightarrow{AM} = t\,\vec{u}.$$
Tout vecteur non nul colinéaire à $\vec{u}$ est aussi un vecteur directeur de $d$. Si $A$ et $B$ sont deux points distincts de $d$, $\overrightarrow{AB}$ est un vecteur directeur de $d$.
Plan de l'espace
Soit $A$ un point et $\vec{u}$, $\vec{v}$ deux vecteurs non colinéaires. Le plan $\mathcal{P}$ passant par $A$ et dirigé par $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est l'ensemble des points $M$ tels que : $$\overrightarrow{AM} = x\,\vec{u} + y\,\vec{v}, \quad x \in \mathbb{R},\ y \in \mathbb{R}.$$
Le couple $(\vec{u}, \vec{v})$ est appelé un couple de vecteurs directeurs de $\mathcal{P}$. Le triplet $(A ; \vec{u}, \vec{v})$ est un repère du plan $\mathcal{P}$, et $(x ; y)$ sont les coordonnées de $M$ dans ce repère.
Plan défini par trois points
Si $A$, $B$, $C$ sont trois points non alignés, le plan $(ABC)$ est le plan passant par $A$ et dirigé par $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
Justification
Les points $A$, $B$, $C$ ne sont pas alignés, donc $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires : ils dirigent bien un plan $\mathcal{P}$ passant par $A$.
- $A \in \mathcal{P}$ car $\overrightarrow{AA} = 0\,\overrightarrow{AB} + 0\,\overrightarrow{AC}$.
- $B \in \mathcal{P}$ car $\overrightarrow{AB} = 1\,\overrightarrow{AB} + 0\,\overrightarrow{AC}$.
- $C \in \mathcal{P}$ car $\overrightarrow{AC} = 0\,\overrightarrow{AB} + 1\,\overrightarrow{AC}$.
Par trois points non alignés passe un unique plan, donc $\mathcal{P} = (ABC)$.
Parallélisme et vecteurs directeurs
- Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
- Une droite $d$ de vecteur directeur $\vec{w}$ est parallèle à un plan $\mathcal{P}$ dirigé par $(\vec{u}, \vec{v})$ si et seulement si $\vec{w}$ est combinaison linéaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$.
- Deux plans sont parallèles si et seulement si les deux vecteurs directeurs de l'un sont combinaisons linéaires des deux vecteurs directeurs de l'autre. En particulier, deux plans dirigés par le même couple $(\vec{u}, \vec{v})$ sont parallèles.
Vocabulaire du parallélisme
« Parallèles » englobe toujours le cas « confondus ». Deux droites parallèles sont soit strictement parallèles, soit confondues. Une droite parallèle à un plan est soit contenue dans le plan, soit strictement parallèle (aucun point commun). Pour trancher, on teste si un point de l'un appartient à l'autre.
Une droite parallèle à un plan dans le cube
Dans le cube $ABCDEFGH$, montrons que la droite $(EG)$ est parallèle au plan $(ABC)$.
Le plan $(ABC)$ est dirigé par $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$. Or : $$\overrightarrow{EG} = \overrightarrow{EF} + \overrightarrow{FG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}.$$ Le vecteur directeur $\overrightarrow{EG}$ est combinaison linéaire de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$, donc $(EG)$ est parallèle à $(ABC)$. Comme $E \notin (ABC)$, elle est strictement parallèle au plan.
3.3. Coplanarité, bases et décomposition d'un vecteur
Vecteurs coplanaires
Trois vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ sont coplanaires si, pour un point $O$ quelconque, les points $O$, $A$, $B$, $C$ définis par $\overrightarrow{OA} = \vec{u}$, $\overrightarrow{OB} = \vec{v}$, $\overrightarrow{OC} = \vec{w}$ sont dans un même plan.
Quatre points $A$, $B$, $C$, $D$ sont coplanaires si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AD}$ sont coplanaires.
Caractérisation de la coplanarité
Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non colinéaires. Les vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ sont coplanaires si et seulement si il existe deux réels $a$ et $b$ tels que : $$\vec{w} = a\,\vec{u} + b\,\vec{v}.$$
Preuve
Soit $O$ un point et $A$, $B$, $C$ tels que $\overrightarrow{OA} = \vec{u}$, $\overrightarrow{OB} = \vec{v}$, $\overrightarrow{OC} = \vec{w}$. Comme $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires, $O$, $A$, $B$ ne sont pas alignés et le plan $(OAB)$ est le plan passant par $O$ dirigé par $(\vec{u}, \vec{v})$.
Les vecteurs sont coplanaires si et seulement si $C \in (OAB)$, c'est-à-dire si et seulement si il existe $a$, $b$ réels tels que $\overrightarrow{OC} = a\vec{u} + b\vec{v}$, soit $\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}$.
Coplanarité sans plan visible
Dans le cube $ABCDEFGH$, les vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{EG}$ sont coplanaires, car on a vu que $\overrightarrow{EG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$.
Pourtant, les points $A$, $B$, $D$, $E$, $G$ ne sont pas dans un même plan. La coplanarité porte sur les vecteurs, pas sur les représentants dessinés : en plaçant les trois vecteurs à partir de $A$, on obtient $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{AC}$ (car $\overrightarrow{EG} = \overrightarrow{AC}$), qui sont bien dans le plan $(ABC)$.
Base de l'espace
Trois vecteurs $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$ non coplanaires forment une base de l'espace, notée $(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$.
Décomposition d'un vecteur dans une base
Soit $(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ une base de l'espace. Pour tout vecteur $\vec{w}$, il existe un unique triplet de réels $(x ; y ; z)$ tel que : $$\vec{w} = x\,\vec{i} + y\,\vec{j} + z\,\vec{k}.$$ Les réels $x$, $y$, $z$ sont les coordonnées de $\vec{w}$ dans la base $(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$.
Preuve de l'existence et de l'unicité
Existence. Soit $O$ un point et $M$ le point tel que $\overrightarrow{OM} = \vec{w}$. Soit $\mathcal{P}$ le plan passant par $O$ dirigé par $(\vec{i}, \vec{j})$ (ces vecteurs ne sont pas colinéaires, sinon $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$ seraient coplanaires). Soit $\Delta$ la droite passant par $M$ de vecteur directeur $\vec{k}$.
Comme $\vec{k}$ n'est pas combinaison linéaire de $\vec{i}$ et $\vec{j}$, la droite $\Delta$ n'est pas parallèle à $\mathcal{P}$ : elle le coupe en un point $M'$. Comme $M' \in \mathcal{P}$, il existe $x$, $y$ tels que $\overrightarrow{OM'} = x\vec{i} + y\vec{j}$. Comme $M$ et $M'$ sont sur $\Delta$, il existe $z$ tel que $\overrightarrow{M'M} = z\vec{k}$. Par Chasles : $$\vec{w} = \overrightarrow{OM'} + \overrightarrow{M'M} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}.$$
Unicité. Supposons $x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k} = x'\vec{i} + y'\vec{j} + z'\vec{k}$. Alors : $$(x - x')\vec{i} + (y - y')\vec{j} + (z - z')\vec{k} = \vec{0}.$$ Si $z \neq z'$, on obtient $\vec{k} = -\dfrac{x - x'}{z - z'}\vec{i} - \dfrac{y - y'}{z - z'}\vec{j}$ : $\vec{k}$ serait combinaison linéaire de $\vec{i}$ et $\vec{j}$, donc les trois vecteurs seraient coplanaires, ce qui est faux. Donc $z = z'$ et $(x - x')\vec{i} + (y - y')\vec{j} = \vec{0}$.
Si $x \neq x'$, $\vec{i}$ serait colinéaire à $\vec{j}$, ce qui est faux. Donc $x = x'$, puis $(y - y')\vec{j} = \vec{0}$ avec $\vec{j} \neq \vec{0}$, donc $y = y'$.
Décomposer dans le cube
Dans le cube $ABCDEFGH$, soit $I$ le milieu de $[FG]$. Décomposons $\overrightarrow{AI}$ dans la base $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE})$.
$$\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BF} + \overrightarrow{FI}.$$ Or $\overrightarrow{BF} = \overrightarrow{AE}$ et $\overrightarrow{FI} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{FG} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}$. Donc : $$\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE}.$$ Les coordonnées de $\overrightarrow{AI}$ dans cette base sont $\left(1 ; \dfrac{1}{2} ; 1\right)$.
Décomposer un vecteur dans une base
- Partir de l'origine du vecteur et rejoindre son extrémité par un chemin d'arêtes ou de segments connus (relation de Chasles).
- Remplacer chaque vecteur du chemin par un vecteur égal ou proportionnel à l'un des vecteurs de la base (parallélogrammes, milieux, rapports donnés).
- Regrouper les termes : les coefficients obtenus sont les coordonnées, uniques d'après le théorème.
4.4. Repères et coordonnées
Repère de l'espace
Un repère de l'espace est un quadruplet $(O ; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ où $O$ est un point (l'origine) et $(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ une base.
Les coordonnées du point $M$ sont les coordonnées $(x ; y ; z)$ du vecteur $\overrightarrow{OM}$ : $\overrightarrow{OM} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$. On les appelle abscisse, ordonnée et cote.
Calculs en coordonnées
Dans un repère $(O ; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, avec $A(x_A ; y_A ; z_A)$, $B(x_B ; y_B ; z_B)$, $\vec{u}(x ; y ; z)$, $\vec{v}(x' ; y' ; z')$ et $\lambda$ réel :
- $\overrightarrow{AB}(x_B - x_A ; y_B - y_A ; z_B - z_A)$ ;
- $\vec{u} + \vec{v}\,(x + x' ; y + y' ; z + z')$ et $\lambda\vec{u}\,(\lambda x ; \lambda y ; \lambda z)$ ;
- le milieu $I$ de $[AB]$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{x_A + x_B}{2} ; \dfrac{y_A + y_B}{2} ; \dfrac{z_A + z_B}{2}\right)$ ;
- $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles.
Colinéarité : le critère du plan ne suffit plus
Dans le plan, on teste la colinéarité avec $xy' - x'y = 0$. Dans l'espace, cette seule égalité ne suffit pas : il faut que les trois coordonnées soient proportionnelles.
Par exemple, $\vec{u}(1 ; 2 ; 0)$ et $\vec{v}(2 ; 4 ; 5)$ vérifient $1 \times 4 - 2 \times 2 = 0$, mais ils ne sont pas colinéaires : $\vec{v} = 2\vec{u}$ imposerait une cote nulle pour $\vec{v}$.
Tester la colinéarité de deux vecteurs en coordonnées
Pour savoir si $\vec{v}$ est colinéaire à $\vec{u} \neq \vec{0}$ :
- Choisir une coordonnée non nulle de $\vec{u}$ et en déduire la seule valeur possible de $k$ dans $\vec{v} = k\vec{u}$.
- Vérifier l'égalité sur les deux autres coordonnées.
- Conclure : si les trois égalités sont vraies, les vecteurs sont colinéaires ; si une seule échoue, ils ne le sont pas.
Points alignés
Soit $A(1 ; 2 ; 3)$, $B(3 ; -1 ; 4)$ et $C(7 ; -7 ; 6)$.
$\overrightarrow{AB}(2 ; -3 ; 1)$ et $\overrightarrow{AC}(6 ; -9 ; 3)$.
La première coordonnée impose $k = 3$. On vérifie : $3 \times (-3) = -9$ et $3 \times 1 = 3$. Donc $\overrightarrow{AC} = 3\,\overrightarrow{AB}$ : les vecteurs sont colinéaires et les points $A$, $B$, $C$ sont alignés.
Tester la coplanarité de trois vecteurs en coordonnées
Pour savoir si $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ sont coplanaires, avec $\vec{u}$ et $\vec{v}$ non colinéaires :
- Écrire $\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}$ coordonnée par coordonnée : on obtient un système de trois équations à deux inconnues $a$ et $b$.
- Résoudre avec deux des équations.
- Vérifier la troisième équation avec les valeurs trouvées.
- Si elle est vérifiée, les vecteurs sont coplanaires ; sinon, ils ne le sont pas et $(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})$ est une base de l'espace.
Coplanaires ou non
Soit $\vec{u}(1 ; 2 ; -1)$ et $\vec{v}(0 ; 1 ; 3)$. Ils ne sont pas colinéaires : la première coordonnée de $\vec{v}$ est nulle alors que celle de $\vec{u}$ ne l'est pas, et $\vec{v} \neq \vec{0}$.
Cas 1 : $\vec{w}(2 ; 7 ; 7)$. On cherche $a$, $b$ tels que : $$\begin{cases} a = 2 \\ 2a + b = 7 \\ -a + 3b = 7 \end{cases}$$ Les deux premières lignes donnent $a = 2$ et $b = 3$. Troisième ligne : $-2 + 9 = 7$, vérifiée. Donc $\vec{w} = 2\vec{u} + 3\vec{v}$ : les vecteurs sont coplanaires.
Cas 2 : $\vec{w}'(2 ; 7 ; 4)$. Les deux premières lignes donnent encore $a = 2$, $b = 3$, mais la troisième donne $-2 + 9 = 7 \neq 4$. Le système n'a pas de solution : $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}'$ ne sont pas coplanaires et forment une base de l'espace.
Repère orthonormé
Dans un repère quelconque, on ne peut pas calculer de longueurs avec les coordonnées. La formule $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$ n'est valable que dans un repère orthonormé ; elle est étudiée avec le produit scalaire dans l'espace.
5.5. Représentations paramétriques de droites
Représentation paramétrique d'une droite
Dans un repère de l'espace, soit $d$ la droite passant par $A(x_A ; y_A ; z_A)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(a ; b ; c)$ non nul. Un point $M(x ; y ; z)$ appartient à $d$ si et seulement si il existe un réel $t$ tel que : $$\begin{cases} x = x_A + t\,a \\ y = y_A + t\,b \\ z = z_A + t\,c \end{cases}$$ Ce système, avec $t \in \mathbb{R}$, est une représentation paramétrique de $d$ ; $t$ est le paramètre.
Preuve
$M \in d$ si et seulement si il existe $t \in \mathbb{R}$ tel que $\overrightarrow{AM} = t\,\vec{u}$. En coordonnées, $\overrightarrow{AM}(x - x_A ; y - y_A ; z - z_A)$ et $t\vec{u}(ta ; tb ; tc)$. L'égalité des vecteurs équivaut à l'égalité des trois coordonnées : $x - x_A = ta$, $y - y_A = tb$, $z - z_A = tc$, ce qui donne le système annoncé.
Non-unicité
Une droite admet une infinité de représentations paramétriques : on peut changer de point de passage et remplacer $\vec{u}$ par tout vecteur non nul colinéaire. Deux représentations d'aspect différent peuvent donc décrire la même droite. Pour le vérifier, on contrôle que les vecteurs directeurs sont colinéaires et qu'un point de l'une est sur l'autre.
On lit directement sur une représentation paramétrique un point (valeur $t = 0$) et un vecteur directeur (coefficients de $t$).
Écrire une représentation et tester des points
Soit $d$ la droite passant par $A(1 ; -2 ; 3)$ de vecteur directeur $\vec{u}(2 ; 1 ; -1)$. Une représentation paramétrique est : $$\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -2 + t \\ z = 3 - t \end{cases} \quad t \in \mathbb{R}.$$
Le point $B(5 ; 0 ; 1)$ est-il sur $d$ ? La première équation donne $5 = 1 + 2t$, soit $t = 2$. Avec $t = 2$ : $y = -2 + 2 = 0$ et $z = 3 - 2 = 1$. Les trois coordonnées correspondent : $B \in d$.
Le point $C(3 ; -1 ; 3)$ est-il sur $d$ ? La première équation donne $t = 1$. Alors $y = -1$, correct, mais $z = 3 - 1 = 2 \neq 3$. Donc $C \notin d$.
Savoir si un point appartient à une droite
- Remplacer $x$, $y$, $z$ par les coordonnées du point dans la représentation paramétrique.
- Tirer la valeur de $t$ d'une équation (de préférence celle où le coefficient de $t$ est non nul et simple).
- Vérifier que cette même valeur de $t$ convient pour les deux autres équations.
- Conclure.
Représentation paramétrique de la droite $(AB)$
- Calculer $\overrightarrow{AB}$, qui est un vecteur directeur (non nul si $A \neq B$).
- Écrire le système avec le point $A$ et les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$.
Par exemple, avec $A(2 ; 0 ; -1)$ et $B(3 ; 4 ; 1)$ : $\overrightarrow{AB}(1 ; 4 ; 2)$ et $(AB) : x = 2 + t,\ y = 4t,\ z = -1 + 2t$, $t \in \mathbb{R}$. Pour $t = 1$, on retrouve bien $B$.
Hors programme : paramétrage d'un plan
Un plan passant par $A$ et dirigé par $\vec{u}(a ; b ; c)$ et $\vec{v}(a' ; b' ; c')$ peut se décrire par $x = x_A + sa + ta'$, $y = y_A + sb + tb'$, $z = z_A + sc + tc'$, avec $(s ; t) \in \mathbb{R}^2$. Cette écriture n'est pas au programme ; si un sujet l'utilise, il la présente. Pour les plans, le programme privilégie l'équation cartésienne, vue avec le produit scalaire.
6.6. Positions relatives de droites et de plans
Deux droites de l'espace
Deux droites $d_1$ et $d_2$ de l'espace sont dans l'un des cas suivants :
- coplanaires (contenues dans un même plan) : elles sont alors soit parallèles (strictement ou confondues), soit sécantes en un unique point ;
- non coplanaires : aucun plan ne les contient, elles n'ont aucun point commun et ne sont pas parallèles.
| Vecteurs directeurs | Point commun | Position |
|---|---|---|
| colinéaires | oui | confondues |
| colinéaires | non | strictement parallèles |
| non colinéaires | un seul | sécantes |
| non colinéaires | aucun | non coplanaires |
Pas de point commun ne veut pas dire parallèles
Dans le plan, deux droites sans point commun sont parallèles. Dans l'espace, ce n'est plus vrai : dans le cube $ABCDEFGH$, les droites $(AB)$ et $(CG)$ n'ont aucun point commun et ne sont pas parallèles. Elles sont non coplanaires.
Étudier la position relative de deux droites données par des représentations paramétriques
- Lire un vecteur directeur de chaque droite et tester leur colinéarité.
- S'ils sont colinéaires, les droites sont parallèles. On teste si un point de $d_1$ appartient à $d_2$ : si oui, elles sont confondues ; sinon, strictement parallèles.
- S'ils ne sont pas colinéaires, on cherche un point commun. On nomme les paramètres différemment ($t$ pour $d_1$, $s$ pour $d_2$) et on égale les coordonnées : trois équations, deux inconnues.
- On résout avec deux équations, puis on vérifie la troisième. Si elle est vérifiée, les droites sont sécantes et on calcule le point d'intersection ; sinon, elles sont non coplanaires.
Droites sécantes, droites non coplanaires
Soit $d_1 : \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 - t \\ z = 3 + 2t \end{cases}$ et $d_2 : \begin{cases} x = 1 + s \\ y = -1 + 2s \\ z = 6 - s \end{cases}$ avec $t, s \in \mathbb{R}$.
Vecteurs directeurs : $\vec{u}_1(1 ; -1 ; 2)$ et $\vec{u}_2(1 ; 2 ; -1)$. La première coordonnée imposerait $k = 1$, mais $2 \neq -1$ : ils ne sont pas colinéaires.
On cherche $t$ et $s$ tels que : $$\begin{cases} 1 + t = 1 + s \\ 2 - t = -1 + 2s \\ 3 + 2t = 6 - s \end{cases}$$ La première ligne donne $s = t$. La deuxième devient $2 - t = -1 + 2t$, soit $3t = 3$, donc $t = 1$ et $s = 1$. Troisième ligne : $3 + 2 = 5$ et $6 - 1 = 5$, vérifiée.
Les droites sont sécantes. Le point d'intersection s'obtient avec $t = 1$ dans $d_1$ : $(2 ; 1 ; 5)$.
Si l'on remplace $d_2$ par $d_3 : x = 1 + s,\ y = -1 + 2s,\ z = 4 - s$, les deux premières lignes donnent encore $t = s = 1$, mais la troisième donne $5$ d'un côté et $4 - 1 = 3$ de l'autre. Pas de point commun, vecteurs directeurs non colinéaires : $d_1$ et $d_3$ sont non coplanaires.
Une droite et un plan
Soit $d$ une droite de vecteur directeur $\vec{w}$ et $\mathcal{P}$ un plan dirigé par $(\vec{u}, \vec{v})$.
- Si $\vec{w}$, $\vec{u}$, $\vec{v}$ sont coplanaires, $d$ est parallèle à $\mathcal{P}$ : soit $d$ est contenue dans $\mathcal{P}$, soit $d$ et $\mathcal{P}$ n'ont aucun point commun.
- Sinon, $(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})$ est une base et $d$ coupe $\mathcal{P}$ en un unique point.
Intersection d'une droite et d'un plan
Dans un repère d'origine $O$, soit $\mathcal{P}$ le plan passant par $O$ dirigé par $\vec{u}(1 ; 0 ; 1)$ et $\vec{v}(0 ; 1 ; 1)$, et $d : x = 1 + 2t,\ y = -1 + t,\ z = t$, $t \in \mathbb{R}$.
Position. Le vecteur directeur $\vec{w}(2 ; 1 ; 1)$ s'écrit-il $a\vec{u} + b\vec{v}$ ? Les deux premières coordonnées imposent $a = 2$ et $b = 1$, puis la cote vaudrait $a + b = 3 \neq 1$. Les trois vecteurs ne sont pas coplanaires : $d$ coupe $\mathcal{P}$ en un unique point.
Point d'intersection. $M(1 + 2t ; -1 + t ; t)$ est dans $\mathcal{P}$ si et seulement si il existe $a$, $b$ avec $\overrightarrow{OM} = a\vec{u} + b\vec{v}$, c'est-à-dire : $$\begin{cases} 1 + 2t = a \\ -1 + t = b \\ t = a + b \end{cases}$$ En reportant les deux premières lignes dans la troisième : $t = (1 + 2t) + (-1 + t) = 3t$, donc $t = 0$, puis $a = 1$, $b = -1$. Le point d'intersection est $(1 ; -1 ; 0)$, et l'on vérifie que $1 \cdot \vec{u} - 1 \cdot \vec{v}$ a bien pour coordonnées $(1 ; -1 ; 0)$.
Deux plans
Deux plans de l'espace sont :
- soit parallèles : strictement parallèles (aucun point commun) ou confondus ;
- soit sécants : leur intersection est alors une droite.
Si deux plans sont parallèles, tout plan qui coupe l'un coupe l'autre, et les deux droites d'intersection sont parallèles.
Théorème du toit
Soit $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ deux plans sécants selon une droite $\Delta$. Si $d_1 \subset \mathcal{P}_1$ et $d_2 \subset \mathcal{P}_2$ sont deux droites parallèles, alors $\Delta$ est parallèle à $d_1$ et à $d_2$.
Preuve
Soit $\vec{w}$ un vecteur directeur commun à $d_1$ et $d_2$ (elles sont parallèles). Comme $d_1 \subset \mathcal{P}_1$, $\vec{w}$ est combinaison linéaire des vecteurs directeurs de $\mathcal{P}_1$ ; de même pour $\mathcal{P}_2$.
Soit $A$ un point de $\Delta$ et $\delta$ la droite passant par $A$ de vecteur directeur $\vec{w}$. Comme $A \in \mathcal{P}_1$ et que $\vec{w}$ dirige une droite parallèle à $\mathcal{P}_1$, la droite $\delta$ est contenue dans $\mathcal{P}_1$. De même, $\delta \subset \mathcal{P}_2$. Donc $\delta \subset \mathcal{P}_1 \cap \mathcal{P}_2 = \Delta$. Deux droites dont l'une contient l'autre sont égales : $\delta = \Delta$, qui a donc $\vec{w}$ pour vecteur directeur. Ainsi $\Delta$ est parallèle à $d_1$ et $d_2$.
Construire l'intersection de deux plans sur une figure
- Chercher deux points communs aux deux plans (souvent l'intersection de deux droites coplanaires, l'une dans chaque plan). La droite qui les joint est l'intersection.
- Si l'on ne trouve qu'un point commun $A$, chercher deux droites parallèles, une dans chaque plan : d'après le théorème du toit, l'intersection est la parallèle à ces droites passant par $A$.
- Sur une figure en perspective, deux droites ne se coupent réellement que si elles sont coplanaires : toujours le justifier avant de placer un point d'intersection.