Erreurs fréquentes : Déterminants (Prépa, 1re année)
Le déterminant associe à une famille de $n$ vecteurs, à un endomorphisme ou à une matrice carrée un scalaire qui caractérise l'inversibilité. Il fournit des critères de base, une expression de l'inverse et des calculs explicites, utilisés ensuite en réduction des endomorphismes, en géométrie et en analyse.
Écrire $\det(\lambda A)=\lambda\det A$.
Le déterminant est linéaire par rapport à chaque colonne, et $\lambda A$ multiplie les $n$ colonnes par $\lambda$ : $\det(\lambda A)=\lambda^n\det A$ pour $A\in\mathcal M_n(\mathbb K)$.
Écrire $\det(A+B)=\det A+\det B$.
C'est faux en général : avec $A=B=I_2$, $\det(2I_2)=4$ alors que $\det I_2+\det I_2=2$. Le déterminant est multiplicatif, pas additif.
Considérer que $C_i\leftarrow\lambda C_i+\mu C_j$ ne change pas le déterminant, ou effectuer plusieurs opérations simultanées qui se croisent.
$C_i\leftarrow\lambda C_i+\mu C_j$ ($j\neq i$) multiplie le déterminant par $\lambda$. Seule l'opération $C_i\leftarrow C_i+\mu C_j$ le conserve. Les opérations se font l'une après l'autre ; faire $C_1\leftarrow C_1-C_2$ et $C_2\leftarrow C_2-C_1$ en même temps rend les colonnes liées.
Oublier le signe $(-1)^{i+j}$ dans un développement, ou le placer de façon fixe ($+,-,+,\dots$) quelle que soit la ligne choisie.
Le signe dépend de la position $(i,j)$ : sur la deuxième ligne, la suite des signes est $-,+,-,\dots$ On lit le signe sur le damier qui commence par $+$ en position $(1,1)$.
Calculer $\det\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}$ par $\det A\det D-\det B\det C$.
Aucune formule de ce type n'est valable en général. On a seulement $\det\begin{pmatrix}A&C\\0&B\end{pmatrix}=\det A\det B$ (bloc nul sous la diagonale). Contre-exemple : $A=D=0$, $B=C=I_2$ donne un déterminant égal à $1$ et non $-1$.
Attribuer la signature $(-1)^p$ à un cycle de longueur $p$.
Un cycle de longueur $p$ est produit de $p-1$ transpositions, donc sa signature est $(-1)^{p-1}$. Une transposition ($p=2$) a bien pour signature $-1$.
Composer les permutations de gauche à droite.
$\sigma\sigma'=\sigma\circ\sigma'$ : on applique d'abord $\sigma'$, puis $\sigma$. Par exemple $(1\ 2)(2\ 3)=(1\ 2\ 3)$ et non $(1\ 3\ 2)$.
Parler du déterminant d'une famille de vecteurs sans préciser la base, ou d'une famille dont le nombre de vecteurs diffère de la dimension.
$\det_{\mathcal B}(x_1,\dots,x_n)$ dépend de la base : $\det_{\mathcal B'}=\det_{\mathcal B'}(\mathcal B)\det_{\mathcal B}$. Il n'est défini que pour exactement $n=\dim E$ vecteurs. Seule sa nullité ne dépend pas de la base. En revanche, le déterminant d'un endomorphisme ne dépend pas de la base.