Prépa · MPSI / MP2I

Fiche résumé : Déterminants (Prépa, 1re année)

Le déterminant associe à une famille de $n$ vecteurs, à un endomorphisme ou à une matrice carrée un scalaire qui caractérise l'inversibilité. Il fournit des critères de base, une expression de l'inverse et des calculs explicites, utilisés ensuite en réduction des endomorphismes, en géométrie et en analyse.

$\mathcal S_n$ : groupe des bijections de $\llbracket1,n\rrbracket$, de cardinal $n!$ ; $\sigma\sigma'$ : on applique $\sigma'$ d'abord.
Toute permutation est produit de cycles à supports disjoints (unique à l'ordre près) et produit de transpositions. $(a_1\ \cdots\ a_p)=(a_1\ a_2)(a_2\ a_3)\cdots(a_{p-1}\ a_p)$.
Signature : unique morphisme $\varepsilon:\mathcal S_n\to\{-1,1\}$ valant $-1$ sur les transpositions. Cycle de longueur $p$ : $(-1)^{p-1}$. $\varepsilon(\sigma)=(-1)^{N(\sigma)}$ ($N$ = nombre d'inversions), $\varepsilon(\sigma^{-1})=\varepsilon(\sigma)$.
Forme $n$-linéaire alternée $f$ : antisymétrique, $f(x_{\sigma(1)},\dots,x_{\sigma(n)})=\varepsilon(\sigma)f(x_1,\dots,x_n)$, nulle sur toute famille liée.
$\Lambda_n(E)$ est une droite engendrée par $\det_{\mathcal B}$, unique forme alternée valant $1$ sur $\mathcal B$ : $$\det\nolimits_{\mathcal B}(x_1,\dots,x_n)=\sum_{\sigma\in\mathcal S_n}\varepsilon(\sigma)\prod_{j=1}^na_{\sigma(j)j}.$$
$\det_{\mathcal B'}=\det_{\mathcal B'}(\mathcal B)\det_{\mathcal B}$ ; $(x_1,\dots,x_n)$ base $\iff\det_{\mathcal B}(x_1,\dots,x_n)\neq0$.
Endomorphisme : $f(u(x_1),\dots,u(x_n))=\det(u)f(x_1,\dots,x_n)$ ; $\det u=\det_{\mathcal B}(u(\mathcal B))=\det\mathrm{Mat}_{\mathcal B}(u)$, indépendant de $\mathcal B$.
$\det(AB)=\det A\det B$, $\det(\lambda A)=\lambda^n\det A$, $\det(A^T)=\det A$, $\det(A^{-1})=1/\det A$, matrices semblables : même déterminant.
$A$ inversible $\iff\det A\neq0$ ; $u$ bijectif $\iff\det u\neq0$.
Opérations : échange de deux colonnes (ou lignes) : $\times(-1)$ ; $C_i\leftarrow C_i+\lambda C_j$ ($j\neq i$) : inchangé ; $C_i\leftarrow\lambda C_i$ : $\times\lambda$.
Matrice triangulaire : produit des coefficients diagonaux.
Développement : $\det A=\sum_{i}(-1)^{i+j}a_{ij}\Delta_{ij}$ (colonne $j$) $=\sum_j(-1)^{i+j}a_{ij}\Delta_{ij}$ (ligne $i$).
Comatrice : $A\,\mathrm{Com}(A)^T=\mathrm{Com}(A)^TA=\det(A)I_n$ ; si $A$ inversible, $A^{-1}=\frac1{\det A}\mathrm{Com}(A)^T$. En taille 2 : $\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^{-1}=\frac1{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$.
Triangulaire par blocs : $\det\begin{pmatrix}A&C\\0&B\end{pmatrix}=\det A\det B$ (aucune formule générale avec quatre blocs).
Vandermonde : $\det\big(x_i^{\,j-1}\big)=\prod_{1\leqslant i<j\leqslant n}(x_j-x_i)$, non nul $\iff$ les $x_i$ sont distincts.
Résultats classiques : $\det J_n(a,b)=(a+(n-1)b)(a-b)^{n-1}$ ; tridiagonal $(-1,2,-1)$ : $D_n=n+1$.