Déterminants

Pour $n=1$, $\mathcal S_1=\{\mathrm{id}\}$ et il n'y a rien à démontrer. Supposons le résultat vrai dans $\mathcal S_{n-1}$ et soit $\sigma\in\mathcal S_n$.

• Si $\sigma(n)=n$, la restriction de $\sigma$ à $\llbracket 1,n-1\rrbracket$ est une permutation de $\llbracket 1,n-1\rrbracket$ ; par hypothèse de récurrence, c'est un produit de transpositions de $\llbracket 1,n-1\rrbracket$, que l'on prolonge en fixant $n$. Ce produit est égal à $\sigma$.
• Si $\sigma(n)=k\neq n$, on pose $\tau=(n\ k)$. Alors $\tau\sigma(n)=\tau(k)=n$. D'après le premier cas, $\tau\sigma=\tau_1\cdots\tau_r$ avec des transpositions $\tau_i$, et comme $\tau^{-1}=\tau$, on obtient $\sigma=\tau\tau_1\cdots\tau_r$.

Le résultat est donc vrai au rang $n$.

On suppose $n\geqslant 2$. Unicité. Deux applications ayant les deux propriétés coïncident sur les transpositions, donc sur leurs produits, donc sur $\mathcal S_n$ tout entier d'après le théorème précédent.

Existence. On pose $$\varepsilon(\sigma)=\prod_{1\leqslant i<j\leqslant n}\frac{\sigma(j)-\sigma(i)}{j-i}.$$ Le quotient $\frac{\sigma(j)-\sigma(i)}{j-i}$ ne change pas si l'on échange $i$ et $j$ : le produit est donc indexé par les paires $\{i,j\}$ d'éléments distincts.

• Valeurs. L'application $\{i,j\}\mapsto\{\sigma(i),\sigma(j)\}$ est une bijection de l'ensemble des paires, donc $\prod|\sigma(j)-\sigma(i)|=\prod|j-i|$, et $\varepsilon(\sigma)\in\{-1,1\}$.
• Morphisme. Pour $\sigma,\sigma'\in\mathcal S_n$ : $$\varepsilon(\sigma\sigma')=\prod_{\{i,j\}}\frac{\sigma(\sigma'(j))-\sigma(\sigma'(i))}{\sigma'(j)-\sigma'(i)}\times\prod_{\{i,j\}}\frac{\sigma'(j)-\sigma'(i)}{j-i}.$$ Le second produit vaut $\varepsilon(\sigma')$. Dans le premier, la paire $\{k,l\}=\{\sigma'(i),\sigma'(j)\}$ décrit toutes les paires une fois et une seule : il vaut $\prod_{\{k,l\}}\frac{\sigma(l)-\sigma(k)}{l-k}=\varepsilon(\sigma)$.
• Transpositions. Pour $(1\ 2)$ : la paire $\{1,2\}$ donne le facteur $-1$, les paires $\{1,j\}$ et $\{2,j\}$ ($j\geqslant 3$) donnent $\frac{j-2}{j-1}\cdot\frac{j-1}{j-2}=1$, les autres donnent $1$. Donc $\varepsilon((1\ 2))=-1$. Pour $\tau=(a\ b)$, on choisit $\gamma\in\mathcal S_n$ avec $\gamma(1)=a$, $\gamma(2)=b$ ; alors $\tau=\gamma(1\ 2)\gamma^{-1}$ (on vérifie sur $a$, $b$ et les autres points), d'où $\varepsilon(\tau)=\varepsilon(\gamma)\varepsilon((1\ 2))\varepsilon(\gamma)^{-1}=-1$.

1. On fixe tous les vecteurs sauf ceux d'indices $i<j$ et on note $g(x,y)$ la valeur de $f$ avec $x$ en position $i$ et $y$ en position $j$. L'application $g$ est bilinéaire et $g(z,z)=0$ pour tout $z$. Donc $$0=g(x+y,x+y)=g(x,x)+g(x,y)+g(y,x)+g(y,y)=g(x,y)+g(y,x).$$

2. La formule est vraie pour $\sigma=\mathrm{id}$. Supposons-la vraie pour $\sigma$ et soit $\tau$ une transposition. En posant $y_k=x_{\sigma(k)}$, on a $x_{\sigma\tau(k)}=y_{\tau(k)}$, donc, par antisymétrie puis hypothèse : $$f(x_{\sigma\tau(1)},\dots,x_{\sigma\tau(n)})=-f(y_1,\dots,y_n)=-\varepsilon(\sigma)f(x_1,\dots,x_n)=\varepsilon(\sigma\tau)f(x_1,\dots,x_n).$$ Comme toute permutation est un produit de transpositions, la formule est vraie pour tout $\sigma$ (récurrence sur le nombre de transpositions).

3. Si la famille est liée, l'un des vecteurs, disons $x_k$, est combinaison linéaire des autres : $x_k=\sum_{i\neq k}\lambda_ix_i$. Par linéarité en la $k$-ième variable, $f(x_1,\dots,x_n)=\sum_{i\neq k}\lambda_i f(x_1,\dots,x_i,\dots,x_i,\dots,x_n)$, où $x_i$ figure en positions $i$ et $k$. Chaque terme est nul car $f$ est alternée.

Analyse. Soit $f\in\Lambda_n(E)$. En développant par multilinéarité, $$f(x_1,\dots,x_n)=f\Big(\sum_{i_1}a_{i_11}e_{i_1},\dots,\sum_{i_n}a_{i_nn}e_{i_n}\Big)=\sum_{(i_1,\dots,i_n)\in\llbracket1,n\rrbracket^n}a_{i_11}\cdots a_{i_nn}\,f(e_{i_1},\dots,e_{i_n}).$$ Si deux indices $i_k$ sont égaux, le terme est nul car $f$ est alternée. Il ne reste que les $n$-uplets d'indices distincts, c'est-à-dire ceux pour lesquels $j\mapsto i_j$ est une permutation $\sigma$. Par l'effet d'une permutation, $f(e_{\sigma(1)},\dots,e_{\sigma(n)})=\varepsilon(\sigma)f(e_1,\dots,e_n)$. Donc $$f(x_1,\dots,x_n)=f(e_1,\dots,e_n)\,D(x_1,\dots,x_n),\qquad D(x_1,\dots,x_n)=\sum_{\sigma\in\mathcal S_n}\varepsilon(\sigma)\prod_{j=1}^na_{\sigma(j)j}.$$ Si de plus $f(e_1,\dots,e_n)=1$, alors $f=D$ : d'où l'unicité.

Synthèse. Il reste à vérifier que $D$ convient.

• $n$-linéarité : dans le produit $\prod_j a_{\sigma(j)j}$, un seul facteur, $a_{\sigma(k)k}$, dépend de $x_k$, et c'est une coordonnée de $x_k$, donc une fonction linéaire de $x_k$.
• Caractère alterné : supposons $x_k=x_l$ avec $k<l$ et posons $\tau=(k\ l)$. Alors $a_{i\tau(m)}=a_{im}$ pour tous $i,m$. En réindexant par $j=\tau(m)$, $$\prod_{j}a_{\sigma\tau(j)j}=\prod_{m}a_{\sigma(m)\tau(m)}=\prod_m a_{\sigma(m)m},$$ tandis que $\varepsilon(\sigma\tau)=-\varepsilon(\sigma)$. L'application $\sigma\mapsto\sigma\tau$ est une bijection de l'ensemble des permutations de signature $1$ sur celui des permutations de signature $-1$ ; les termes de $D$ se regroupent donc par paires opposées et $D(x_1,\dots,x_n)=0$.
• Normalisation : pour $x_j=e_j$, $a_{ij}=\delta_{ij}$ et seul $\sigma=\mathrm{id}$ donne un produit non nul, égal à $1$. Donc $D(e_1,\dots,e_n)=1$.

1. $\det_{\mathcal B'}$ est $n$-linéaire alternée, donc égale à $\det_{\mathcal B'}(\mathcal B)\det_{\mathcal B}$ d'après le théorème. En échangeant les rôles, $\det_{\mathcal B}=\det_{\mathcal B}(\mathcal B')\det_{\mathcal B'}$ ; en évaluant en $\mathcal B'$ la première égalité, on obtient $1=\det_{\mathcal B'}(\mathcal B)\det_{\mathcal B}(\mathcal B')$.

2. Si la famille est liée, son déterminant est nul (propriété 3 des formes alternées). Si c'est une base $\mathcal B'$, le point 1 donne $\det_{\mathcal B}(\mathcal B')\det_{\mathcal B'}(\mathcal B)=1$, donc $\det_{\mathcal B}(\mathcal B')\neq0$. Comme une famille de $n$ vecteurs en dimension $n$ est soit une base soit liée, l'équivalence est établie.

Pour $f\in\Lambda_n(E)$, on pose $f_u(x_1,\dots,x_n)=f(u(x_1),\dots,u(x_n))$. Comme $u$ est linéaire, $f_u$ est $n$-linéaire ; si $x_i=x_j$ avec $i\neq j$, alors $u(x_i)=u(x_j)$ et $f_u(x_1,\dots,x_n)=0$. Donc $f_u\in\Lambda_n(E)$.

Fixons une base $\mathcal B$ et posons $c=\det_{\mathcal B}(u(e_1),\dots,u(e_n))$. D'après le théorème de structure, $(\det_{\mathcal B})_u=(\det_{\mathcal B})_u(\mathcal B)\det_{\mathcal B}=c\det_{\mathcal B}$. Toute $f\in\Lambda_n(E)$ s'écrit $f=\lambda\det_{\mathcal B}$, donc $f_u=\lambda(\det_{\mathcal B})_u=c\lambda\det_{\mathcal B}=cf$. Le scalaire $c$ convient.

Unicité : si $c'$ convient aussi, on applique la relation à $f=\det_{\mathcal B}$ et $(x_1,\dots,x_n)=\mathcal B$ : $c=c'\det_{\mathcal B}(\mathcal B)=c'$.

Indépendance : pour une autre base $\mathcal B'$, la relation avec $f=\det_{\mathcal B'}$ et $(x_i)=\mathcal B'$ donne $\det_{\mathcal B'}(u(\mathcal B'))=\det(u)$.

1. $\det_{\mathcal B}(e_1,\dots,e_n)=1$.
2. Pour $f\in\Lambda_n(E)$ non nulle : $$f(v(u(x_1)),\dots,v(u(x_n)))=\det(v)f(u(x_1),\dots,u(x_n))=\det(v)\det(u)f(x_1,\dots,x_n),$$ et par unicité $\det(v\circ u)=\det(v)\det(u)$.
3. Par $n$-linéarité, $\det_{\mathcal B}(\lambda u(e_1),\dots,\lambda u(e_n))=\lambda^n\det_{\mathcal B}(u(e_1),\dots,u(e_n))$.
4. $u$ est bijectif si et seulement si $(u(e_1),\dots,u(e_n))$ est une base de $E$, si et seulement si $\det_{\mathcal B}(u(e_1),\dots,u(e_n))\neq0$. Si $u$ est bijectif, $\det(u)\det(u^{-1})=\det(\mathrm{id}_E)=1$.

Le coefficient $(i,j)$ de $A^T$ est $a_{ji}$, donc $$\det(A^T)=\sum_{\sigma\in\mathcal S_n}\varepsilon(\sigma)\prod_{j=1}^na_{j\sigma(j)}.$$ Dans le produit, on réindexe par $i=\sigma(j)$, c'est-à-dire $j=\sigma^{-1}(i)$ : $\prod_ja_{j\sigma(j)}=\prod_ia_{\sigma^{-1}(i)i}$. Comme $\varepsilon(\sigma)=\varepsilon(\sigma^{-1})$ et que $\sigma\mapsto\sigma^{-1}$ est une bijection de $\mathcal S_n$, $$\det(A^T)=\sum_{\rho\in\mathcal S_n}\varepsilon(\rho)\prod_{i=1}^na_{\rho(i)i}=\det A.$$

Supposons $A$ triangulaire supérieure : $a_{ij}=0$ si $i>j$. Le terme associé à $\sigma$ dans la formule est non nul seulement si $\sigma(j)\leqslant j$ pour tout $j$. Alors $\sigma(1)=1$ ; puis $\sigma(2)\leqslant2$ et $\sigma(2)\neq\sigma(1)=1$, donc $\sigma(2)=2$ ; et par récurrence $\sigma(j)=j$ pour tout $j$. Seule l'identité contribue, d'où $\det A=\prod_ja_{jj}$. Le cas triangulaire inférieur s'en déduit par transposition.

Notons $E_1,\dots,E_n$ la base canonique de $\mathbb K^n$. On a $C_j=\sum_ia_{ij}E_i$, donc par linéarité en la $j$-ième colonne : $$\det A=\sum_{i=1}^na_{ij}\,D_i,\qquad D_i=\det(C_1,\dots,C_{j-1},E_i,C_{j+1},\dots,C_n).$$ Calculons $D_i$.

• On amène la colonne $j$ en dernière position par $n-j$ échanges de colonnes voisines : facteur $(-1)^{n-j}$.
• On amène la ligne $i$ en dernière position par $n-i$ échanges de lignes voisines : facteur $(-1)^{n-i}$ (les lignes jouent le même rôle que les colonnes grâce à $\det(M^T)=\det M$).

La matrice $M$ obtenue a pour dernière colonne $E_n$, et son bloc supérieur gauche de taille $n-1$ est exactement $A_{ij}$ (lignes et colonnes restantes dans leur ordre initial). Dans la formule $\det M=\sum_\sigma\varepsilon(\sigma)\prod_km_{\sigma(k)k}$, le seul coefficient non nul de la dernière colonne est $m_{nn}=1$ ; seules contribuent les $\sigma$ telles que $\sigma(n)=n$. Ces permutations s'identifient à celles de $\mathcal S_{n-1}$, avec la même signature (même décomposition en cycles). Donc $\det M=\det A_{ij}=\Delta_{ij}$.

Ainsi $D_i=(-1)^{2n-i-j}\Delta_{ij}=(-1)^{i+j}\Delta_{ij}$, ce qui donne le développement selon la colonne $j$. Le développement selon la ligne $i$ s'obtient en appliquant ce résultat à $A^T$.

Le coefficient $(i,j)$ de $A\,\mathrm{Com}(A)^T$ est $\sum_{k=1}^na_{ik}(-1)^{j+k}\Delta_{jk}$.

• Si $i=j$, c'est le développement de $\det A$ selon la ligne $i$ : il vaut $\det A$.
• Si $i\neq j$, soit $A'$ la matrice obtenue en remplaçant la ligne $j$ de $A$ par la ligne $i$. Les mineurs $\Delta_{jk}$ ne font pas intervenir la ligne $j$, donc ce sont aussi ceux de $A'$, et la somme est le développement de $\det A'$ selon la ligne $j$. Or $A'$ a deux lignes égales : $\det A'=0$.

Donc $A\,\mathrm{Com}(A)^T=\det(A)I_n$. Le même raisonnement sur les colonnes donne $\mathrm{Com}(A)^TA=\det(A)I_n$. Si $\det A\neq0$, on divise par $\det A$.

Notons $M$ la matrice par blocs.

Cas $\det A=0$. Les colonnes de $A$ sont liées : il existe $(\lambda_1,\dots,\lambda_p)\neq0$ tel que $\sum_k\lambda_kA_k=0$, où $A_k$ est la $k$-ième colonne de $A$. Les $p$ premières colonnes de $M$ sont de la forme $\begin{pmatrix}A_k\\0\end{pmatrix}$ et vérifient la même relation : elles sont liées, donc $\det M=0=\det A\det B$.

Cas $\det A\neq0$. Un produit par blocs donne $$\begin{pmatrix}A&C\\0&B\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}A&0\\0&I_q\end{pmatrix}\begin{pmatrix}I_p&A^{-1}C\\0&B\end{pmatrix}.$$

• En développant $q$ fois selon la dernière colonne (qui vaut à chaque fois le dernier vecteur de la base canonique, de cofacteur de signe $+$), $\det\begin{pmatrix}A&0\\0&I_q\end{pmatrix}=\det A$.
• En développant $p$ fois selon la première colonne (qui vaut à chaque fois le premier vecteur de la base canonique, de signe $+$), $\det\begin{pmatrix}I_p&A^{-1}C\\0&B\end{pmatrix}=\det B$ : à chaque étape, on retire la première ligne et la première colonne, et la matrice restante a la même forme avec $I_{p-1}$.

La multiplicativité du déterminant conclut.

Pour $n=1$, $V(x_1)=1$ et le produit vide vaut $1$. Soit $n\geqslant2$ ; supposons la formule vraie au rang $n-1$.

On effectue successivement $C_n\leftarrow C_n-x_1C_{n-1}$, puis $C_{n-1}\leftarrow C_{n-1}-x_1C_{n-2}$, …, jusqu'à $C_2\leftarrow C_2-x_1C_1$. Chaque opération utilise une colonne pas encore modifiée, donc le déterminant est inchangé. Le coefficient $(i,k)$ devient, pour $k\geqslant2$ : $$x_i^{k-1}-x_1x_i^{k-2}=x_i^{k-2}(x_i-x_1).$$ La première ligne devient $(1,0,\dots,0)$. En développant selon cette ligne : $$V(x_1,\dots,x_n)=\det\big(x_i^{k-2}(x_i-x_1)\big)_{2\leqslant i,k\leqslant n}.$$ Par linéarité par rapport à chaque ligne, on factorise $x_i-x_1$ dans la ligne d'indice $i$ : $$V(x_1,\dots,x_n)=\prod_{i=2}^n(x_i-x_1)\;\det\big(x_i^{k-2}\big)_{2\leqslant i,k\leqslant n}=\prod_{i=2}^n(x_i-x_1)\;V(x_2,\dots,x_n).$$ L'hypothèse de récurrence donne $V(x_2,\dots,x_n)=\prod_{2\leqslant i<j\leqslant n}(x_j-x_i)$, d'où la formule au rang $n$.

Enfin, le produit est non nul si et seulement si aucun facteur $x_j-x_i$ ($i<j$) n'est nul.