QCM : Déterminants (Prépa, 1re année)
Le déterminant associe à une famille de $n$ vecteurs, à un endomorphisme ou à une matrice carrée un scalaire qui caractérise l'inversibilité. Il fournit des critères de base, une expression de l'inverse et des calculs explicites, utilisés ensuite en réduction des endomorphismes, en géométrie et en analyse.
Soit $\sigma=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\4&5&1&2&3\end{pmatrix}\in\mathcal S_5$. Quelle est sa décomposition en cycles à supports disjoints et sa signature ?
On suit $1\mapsto4\mapsto2\mapsto5\mapsto3\mapsto1$ : $\sigma$ est un cycle de longueur $5$, de signature $(-1)^{5-1}=1$. Le piège principal est la formule fausse $(-1)^p$, qui donne $-1$. Le cycle $(1\ 3\ 5\ 2\ 4)$ est $\sigma^{-1}$ : il vient d'une lecture du tableau de bas en haut. La réponse $(1\ 4)(2\ 5)$ vient d'une lecture du tableau par paires, sans suivre les images successives.
Dans $\mathcal S_3$, que vaut le produit $(1\ 2)(1\ 3)$, c'est-à-dire $(1\ 2)\circ(1\ 3)$ ?
On applique d'abord $(1\ 3)$, puis $(1\ 2)$. On obtient $1\mapsto3\mapsto3$, puis $3\mapsto1\mapsto2$, puis $2\mapsto2\mapsto1$. Le produit est donc le cycle $(1\ 3\ 2)$. Le piège principal est de composer de gauche à droite, ce qui donne $(1\ 2\ 3)$, c'est-à-dire le produit $(1\ 3)(1\ 2)$. Les deux autres réponses sont des transpositions, de signature $-1$, alors que le produit de deux transpositions est de signature $1$.
Soit $A\in\mathcal M_3(\mathbb R)$ telle que $\det A=5$. Que vaut $\det(2A)$ ?
Multiplier $A$ par $2$ multiplie chacune des $3$ colonnes par $2$. Par linéarité par rapport à chaque colonne, $\det(2A)=2^3\det A=40$. Le piège principal est de croire le déterminant linéaire, ce qui donne $10$. La réponse $30$ vient d'un facteur $2\times3$ au lieu de $2^3$. La réponse $25$ confond $\det(2A)$ avec $(\det A)^2$.
Soit $n$ un entier impair et $A\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ antisymétrique, c'est-à-dire $A^T=-A$. Que peut-on affirmer ?
On a $\det A=\det(A^T)=\det(-A)=(-1)^n\det A=-\det A$ car $n$ est impair. Donc $2\det A=0$, soit $\det A=0$. Le piège principal est d'écrire $\det(-A)=-\det A$ sans tenir compte de la parité de $n$ : pour $n$ pair, cette égalité est fausse et le résultat aussi, puisque $\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$ est de déterminant $1$. Les réponses $1$ et $-1$ viennent de la confusion avec les matrices orthogonales.
Soit $M\in\mathcal M_3(\mathbb R)$ de colonnes $C_1,C_2,C_3$, avec $\det M=4$. On effectue successivement $C_1\leftarrow 2C_1+C_2$, puis $C_2\leftarrow C_2-3C_3$. Que vaut le déterminant de la matrice obtenue ?
Par linéarité en la première colonne, $\det(2C_1+C_2,C_2,C_3)=2\det(C_1,C_2,C_3)+\det(C_2,C_2,C_3)=2\times4+0=8$. L'opération $C_2\leftarrow C_2-3C_3$ ajoute à une colonne un multiple d'une autre : elle ne change pas le déterminant. Le résultat est $8$. Le piège principal est de croire que toute opération du type « colonne plus combinaison » conserve le déterminant, ce qui donne $4$. Or le coefficient $2$ devant $C_1$ multiplie le déterminant par $2$.
On développe selon la deuxième ligne le déterminant de $A=\begin{pmatrix}1&2&0\\3&0&4\\0&1&1\end{pmatrix}$. Quelle valeur obtient-on ?
Sur la deuxième ligne, les signes du damier sont $-,+,-$. On obtient $\det A=-3\det\begin{pmatrix}2&0\\1&1\end{pmatrix}+0-4\det\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}=-3\times2-4\times1=-10$. La règle de Sarrus le confirme : $0+0+0-0-4-6=-10$. Le piège principal est d'appliquer les signes $+,-,+$ de la première ligne, ce qui donne $10$. Les réponses $\pm2$ viennent d'un seul signe faux sur les deux termes.
Pour $n\geqslant1$, que vaut le déterminant de la matrice par blocs $\begin{pmatrix}0&I_n\\I_n&0\end{pmatrix}\in\mathcal M_{2n}(\mathbb R)$ ?
La matrice s'obtient à partir de $I_{2n}$ par les $n$ échanges de colonnes $C_k\leftrightarrow C_{n+k}$, pour $1\leqslant k\leqslant n$. Chaque échange multiplie le déterminant par $-1$, donc le déterminant vaut $(-1)^n$. Le piège principal est la formule fausse $\det A\det D-\det B\det C=0-1=-1$. La réponse « $1$ pour tout $n$ » généralise abusivement le cas $n=2$. La réponse $(-1)^{n(n-1)/2}$ confond avec le signe parasite qui apparaît dans la formule de Vandermonde.
Que vaut le déterminant de Vandermonde $V(1,2,4)=\det\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&4\\1&4&16\end{pmatrix}$ ?
On a $V(x_1,x_2,x_3)=(x_2-x_1)(x_3-x_1)(x_3-x_2)=(2-1)(4-1)(4-2)=6$. Le développement direct le confirme : $(32-16)-(16-4)+(4-2)=16-12+2=6$. Le piège principal est l'ordre des facteurs : $\prod_{i<j}(x_i-x_j)$ introduit le facteur $(-1)^3$ et donne $-6$. La réponse $8$ est le produit $1\times2\times4$ des $x_i$. La réponse $0$ confond avec le cas où deux $x_i$ sont égaux.
Soit $u$ l'endomorphisme de $\mathbb R_2[X]$ défini par $u(P)=P(2X)$. Que vaut $\det(u)$ ?
Dans la base $(1,X,X^2)$, on a $u(1)=1$, $u(X)=2X$ et $u(X^2)=4X^2$. La matrice de $u$ est diagonale de coefficients $1,2,4$, donc $\det u=8$. Le piège principal est de prendre pour dimension le degré $2$ au lieu de $\dim\mathbb R_2[X]=3$, ce qui donne $2^2=4$. La réponse $2$ revient à croire $\det(2\,\cdot)=2$ par linéarité. La réponse $0$ est fausse car $u$ est bijectif, d'inverse $P\mapsto P(X/2)$.
Soit $n\geqslant2$ et $A\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ inversible. Que vaut $\det(\mathrm{Com}(A))$ ?
On a $\mathrm{Com}(A)^T=\det(A)\,A^{-1}$. Donc $\det\mathrm{Com}(A)=\det(\mathrm{Com}(A)^T)=(\det A)^n\det(A^{-1})=(\det A)^{n-1}$. Le piège principal est d'oublier la division par $\det A$ apportée par $A^{-1}$, ce qui donne $(\det A)^n$. La réponse $\frac1{\det A}$ confond $\mathrm{Com}(A)^T$ avec $A^{-1}$ en oubliant le facteur $\det A$. La réponse $\det A$ revient à écrire $\det(\lambda M)=\lambda\det M$.