Erreurs fréquentes : Intégration sur un segment (Prépa, 1re année)
Ce chapitre définit l'intégrale d'une fonction continue par morceaux sur un segment, établit ses propriétés (linéarité, positivité, inégalités) et la relie à la dérivation par le théorème fondamental de l'analyse. Il fournit les outils de calcul (intégration par parties, changement de variable) et d'approximation (sommes de Riemann, formules de Taylor globales) utilisés dans toute la suite de l'analyse.
Appliquer la positivité ou la croissance de l'intégrale sans vérifier l'ordre des bornes, par exemple conclure $\int_1^0 f\ge0$ parce que $f\ge0$.
Ces propriétés exigent $a\le b$. Si $b<a$, on écrit $\int_a^b f=-\int_b^a f$ avant de comparer, ou l'on utilise $\left|\int_a^b f\right|\le\left|\int_a^b|f|\right|$.
Écrire $\int_a^b f(t)g(t)\,\mathrm{d}t=\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t\times\int_a^b g(t)\,\mathrm{d}t$.
L'intégrale est linéaire, pas multiplicative. Pour relier l'intégrale d'un produit à des intégrales séparées, on dispose seulement d'inégalités : Cauchy-Schwarz ou l'inégalité de la moyenne.
Dériver $x\mapsto\int_{u(x)}^{v(x)}f(t)\,\mathrm{d}t$ en écrivant $f(v(x))-f(u(x))$.
Il s'agit de $F\circ v-F\circ u$, avec $F$ une primitive : la dérivée est $v'(x)f(v(x))-u'(x)f(u(x))$. Les facteurs $u'$ et $v'$ viennent de la dérivation des composées.
Dans un changement de variable, oublier de changer les bornes ou oublier le facteur $\varphi'(t)$.
Les trois éléments changent ensemble : l'intégrande devient $f(\varphi(t))$, $\mathrm{d}x$ devient $\varphi'(t)\,\mathrm{d}t$, et les bornes $a,b$ deviennent $\alpha,\beta$ avec $\varphi(\alpha)=a$, $\varphi(\beta)=b$. À la fin, il ne doit rester aucun $x$.
Simplifier $\sqrt{1-\sin^2t}$ en $\cos t$ sans regarder l'intervalle de $t$.
$\sqrt{1-\sin^2t}=|\cos t|$. On choisit l'intervalle de $t$ (par exemple $\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]$) pour que $\cos t\ge0$, et on le justifie.
Affirmer que $x\mapsto\int_a^x f$ est dérivable de dérivée $f$ alors que $f$ est seulement continue par morceaux.
Le théorème fondamental exige la continuité de $f$. Pour $f$ continue par morceaux, $x\mapsto\int_a^x f$ est seulement continue ; elle peut ne pas être dérivable aux points de discontinuité de $f$.
Mal normaliser une somme de Riemann, par exemple voir $\frac1n\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n+k}$ comme une somme de Riemann de $\frac1{1+x}$.
On doit obtenir exactement $\frac1n\sum f\left(\frac kn\right)$, sans $n$ résiduel. Ici $\frac1{n+k}=\frac1n\cdot\frac1{1+k/n}$, donc la somme proposée vaut $\frac1n\times\left(\frac1n\sum\frac{1}{1+k/n}\right)$ et tend vers $0\times\ln2=0$.
Dans Taylor-Lagrange, majorer $|f^{(n+1)}|$ seulement au point $a$, ou utiliser une borne valable sur un intervalle qui ne contient pas $x$.
La constante $M$ doit majorer $|f^{(n+1)}(t)|$ pour tout $t$ du segment d'extrémités $a$ et $x$. Pour l'exponentielle en $0$, on prend $M=e^{|x|}$ et non $M=e^0=1$.