Fiche résumé : Intégration sur un segment (Prépa, 1re année)

Ce chapitre définit l'intégrale d'une fonction continue par morceaux sur un segment, établit ses propriétés (linéarité, positivité, inégalités) et la relie à la dérivation par le théorème fondamental de l'analyse. Il fournit les outils de calcul (intégration par parties, changement de variable) et d'approximation (sommes de Riemann, formules de Taylor globales) utilisés dans toute la suite de l'analyse.

Continue par morceaux sur $[a,b]$ : il existe une subdivision telle que $f$ soit continue sur chaque $]x_{i-1},x_i[$ avec des limites finies aux bornes. Une telle fonction est bornée.
Propriétés de l'intégrale : linéarité, Chasles (ordre des bornes quelconque), positivité et croissance (si $a\le b$), $\left|\int_a^b f\right|\le\int_a^b|f|$ (si $a\le b$, aussi dans $\mathbb{C}$), $\left|\int_a^b f\right|\le(b-a)\sup|f|$.
Stricte positivité : $f$ continue, positive sur $[a,b]$ avec $a<b$, et $\int_a^b f=0$ implique $f=0$.
Cauchy-Schwarz : $\left(\int_a^b fg\right)^2\le\int_a^b f^2\int_a^b g^2$ ; preuve par le trinôme $\lambda\mapsto\int(f+\lambda g)^2$ ; égalité (cas continu) si et seulement si $f,g$ colinéaires.
Sommes de Riemann : $\frac{b-a}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f\left(a+k\frac{b-a}{n}\right)\to\int_a^b f$ ; sur $[0,1]$ : $\frac1n\sum_{k=1}^{n}f\left(\frac kn\right)\to\int_0^1 f$. Erreur en $\frac{K(b-a)^2}{2n}$ si $f$ est $K$-lipschitzienne.
Théorème fondamental : $f$ continue sur $I$, $a\in I$ : $x\mapsto\int_a^x f$ est $\mathcal{C}^1$, de dérivée $f$, nulle en $a$. Pour toute primitive $G$ : $\int_a^b f=G(b)-G(a)$.
Bornes variables : $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_{u(x)}^{v(x)}f=v'(x)f(v(x))-u'(x)f(u(x))$.
Intégration par parties ($u,v$ de classe $\mathcal{C}^1$) : $\int_a^b u'v=[uv]_a^b-\int_a^b uv'$.
Changement de variable ($\varphi$ de classe $\mathcal{C}^1$, $f$ continue) : $\int_{\varphi(\alpha)}^{\varphi(\beta)}f(x)\,\mathrm{d}x=\int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\varphi'(t)\,\mathrm{d}t$.
Parité : $f$ impaire donne $\int_{-a}^a f=0$ ; $f$ paire donne $\int_{-a}^a f=2\int_0^a f$. Périodicité : $\int_c^{c+T}f$ ne dépend pas de $c$.
Taylor reste intégral ($f$ de classe $\mathcal{C}^{n+1}$) : $f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k+\int_a^x\frac{(x-t)^n}{n!}f^{(n+1)}(t)\,\mathrm{d}t$ ; preuve par récurrence et intégration par parties.
Taylor-Lagrange : si $|f^{(n+1)}|\le M$ entre $a$ et $x$, alors $|f(x)-T_n(x)|\le\frac{M|x-a|^{n+1}}{(n+1)!}$.
À connaître : $e^x=\lim\sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!}$ pour tout réel $x$ ; $\ln2=\lim\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^{k-1}}{k}$ ; Wallis : $W_{n+2}=\frac{n+1}{n+2}W_n$.