QCM : Intégration sur un segment (Prépa, 1re année)
Ce chapitre définit l'intégrale d'une fonction continue par morceaux sur un segment, établit ses propriétés (linéarité, positivité, inégalités) et la relie à la dérivation par le théorème fondamental de l'analyse. Il fournit les outils de calcul (intégration par parties, changement de variable) et d'approximation (sommes de Riemann, formules de Taylor globales) utilisés dans toute la suite de l'analyse.
Parmi les fonctions suivantes, définies sur $[0,1]$, laquelle est continue par morceaux sur $[0,1]$ ?
La fonction $x\mapsto\lfloor 3x\rfloor-x$ est continue sur chacun des intervalles $]0,\frac13[$, $]\frac13,\frac23[$ et $]\frac23,1[$, avec des limites finies aux bornes. La subdivision $(0,\frac13,\frac23,1)$ convient. Les autres choix échouent en $0$. $\sin\frac1x$ n'a pas de limite en $0^+$. $\frac1x$ a une limite infinie. $\lfloor\frac1x\rfloor$ a une infinité de points de discontinuité ($x=\frac1k$), donc aucune subdivision finie n'est adaptée. Le piège : croire qu'une fonction définie partout et « en marches » est automatiquement continue par morceaux.
Soit $G(x)=\int_x^{x^2}e^{-t^2}\,\mathrm{d}t$ pour $x\in\mathbb{R}$. Que vaut $G'(x)$ ?
La fonction $t\mapsto e^{-t^2}$ est continue sur $\mathbb{R}$. Elle admet donc une primitive $F$, et $G=F\circ v-F\circ u$ avec $v(x)=x^2$ et $u(x)=x$. D'où $G'(x)=v'(x)e^{-v(x)^2}-u'(x)e^{-u(x)^2}=2x\,e^{-x^4}-e^{-x^2}$. Le piège principal est d'oublier le facteur $v'(x)=2x$ venant de la dérivation de la composée. Les autres choix correspondent à une erreur de signe sur la borne inférieure, ou à l'oubli de cette borne.
Quelle est la limite de $u_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{n^2+k^2}$ ?
On divise numérateur et dénominateur par $n^2$ : $\frac{k}{n^2+k^2}=\frac1n\cdot\frac{k/n}{1+(k/n)^2}$. Donc $u_n=\frac1n\sum_{k=1}^n f\left(\frac kn\right)$ avec $f(x)=\frac{x}{1+x^2}$, continue sur $[0,1]$. Ainsi $u_n\to\int_0^1\frac{x}{1+x^2}\,\mathrm{d}x=\left[\frac12\ln(1+x^2)\right]_0^1=\frac{\ln2}{2}$. Le choix $\frac\pi4$ vient d'une confusion avec $\sum\frac{n}{n^2+k^2}$. Le choix $\ln2$ vient de l'oubli du facteur $\frac12$ dans la primitive. Le choix $0$ vient de l'idée fausse qu'une somme de termes tendant vers $0$ tend vers $0$.
Soit $f$ une fonction définie sur $[0,1]$. Laquelle des affirmations suivantes est vraie ?
C'est le théorème du cours : il exige la continuité, la positivité et un segment non réduit à un point. Sans continuité, la fonction nulle sauf en $\frac12$ fournit un contre-exemple. Sans positivité, $t\mapsto t-\frac12$ est d'intégrale nulle sans être nulle. Le cube ne rend pas la fonction positive : avec $f(t)=t-\frac12$, $f^3$ est impaire par rapport à $\frac12$ et $\int_0^1 f^3=0$. Le piège : appliquer le théorème en oubliant l'une des hypothèses.
Que vaut $\int_0^1 x\,e^{-x}\,\mathrm{d}x$ ?
On intègre par parties avec $u'(x)=e^{-x}$, $u(x)=-e^{-x}$, $v(x)=x$, $v'(x)=1$, fonctions de classe $\mathcal{C}^1$. On obtient $\int_0^1 xe^{-x}\,\mathrm{d}x=\left[-xe^{-x}\right]_0^1+\int_0^1 e^{-x}\,\mathrm{d}x=-\frac1e+\left(1-\frac1e\right)=1-\frac2e$. Le choix $1-\frac1e$ oublie le crochet. Le choix $-\frac1e$ oublie l'intégrale restante. Le choix $\frac2e-1$ provient d'une erreur de signe sur la primitive de $e^{-x}$.
On calcule $I=\int_0^1\sqrt{1-x^2}\,\mathrm{d}x$ en posant $x=\cos t$. Quelle écriture est correcte ?
Avec $\varphi=\cos$ sur $\left[0,\frac\pi2\right]$, on a $\varphi\left(\frac\pi2\right)=0$ et $\varphi(0)=1$, et $\mathrm{d}x=-\sin t\,\mathrm{d}t$. Pour $t\in\left[0,\frac\pi2\right]$, $\sin t\ge0$, donc $\sqrt{1-\cos^2t}=\sin t$. Il vient $I=\int_{\pi/2}^{0}\sin t\,(-\sin t)\,\mathrm{d}t=\int_0^{\pi/2}\sin^2t\,\mathrm{d}t=\frac\pi4$. Le premier choix renverse les bornes sans supprimer le signe moins. Le dernier oublie le signe de $\varphi'$. Le troisième oublie de changer les bornes et le facteur $\varphi'(t)$.
On approche $e^{-1}$ par $T_3(-1)=\sum_{k=0}^{3}\frac{(-1)^k}{k!}$. L'inégalité de Taylor-Lagrange est appliquée à $\exp$ en $a=0$, à l'ordre $3$, avec $M=\sup_{[-1,0]}|\exp|$. Quelle majoration de $\left|e^{-1}-T_3(-1)\right|$ obtient-on ?
La fonction $\exp$ est de classe $\mathcal{C}^4$, et $\exp^{(4)}=\exp$. Sur le segment $[-1,0]$, on a $|e^t|\le e^0=1$, donc $M=1$. L'inégalité donne $\frac{M|x-a|^{4}}{4!}=\frac{1}{24}$. Le choix $\frac16$ utilise $n!$ au lieu de $(n+1)!$. Le choix $\frac1{120}$ décale l'ordre d'un cran. Le choix $\frac{e}{24}$ majore $|\exp|$ sur $[0,1]$, qui n'est pas le segment entre $0$ et $-1$.
Soit $f$ continue sur $[0,1]$ avec $\int_0^1 f(t)^2\,\mathrm{d}t=1$. Quelle est la meilleure majoration de $\left|\int_0^1 t\,f(t)\,\mathrm{d}t\right|$ donnée par l'inégalité de Cauchy-Schwarz ?
Cauchy-Schwarz donne $\left(\int_0^1 tf(t)\,\mathrm{d}t\right)^2\le\int_0^1 t^2\,\mathrm{d}t\times\int_0^1 f^2=\frac13$. Donc $\left|\int_0^1 tf(t)\,\mathrm{d}t\right|\le\frac1{\sqrt3}$. L'égalité a lieu pour $f(t)=\sqrt3\,t$, colinéaire à $t\mapsto t$. Le choix $\frac13$ oublie la racine carrée, car l'inégalité porte sur le carré. Le choix $\frac12$ utilise $\int_0^1 t$ au lieu de $\int_0^1 t^2$.
Quelle est la limite de $v_n=\frac1n\sum_{k=1}^{2n}\frac{1}{1+\frac kn}$ ?
On peut écrire $v_n=\frac{2}{2n}\sum_{k=1}^{2n}f\left(0+k\frac{2}{2n}\right)$ avec $f(x)=\frac1{1+x}$. C'est une somme de Riemann de $f$ sur $[0,2]$ à $2n$ intervalles, de pas $\frac{2}{2n}=\frac1n$. Donc $v_n\to\int_0^2\frac{\mathrm{d}x}{1+x}=\ln3$. Le choix $\ln2$ vient d'une intégration sur $[0,1]$ malgré une somme qui va jusqu'à $2n$. Les choix $\frac12\ln3$ et $2\ln3$ viennent d'un facteur $\frac{b-a}{n}$ mal ajusté.
On note $W_n=\int_0^{\pi/2}\sin^n t\,\mathrm{d}t$. Sachant que $W_{n+2}=\frac{n+1}{n+2}W_n$, que vaut $W_4$ ?
On a $W_0=\int_0^{\pi/2}1\,\mathrm{d}t=\frac\pi2$. La relation avec $n=0$ donne $W_2=\frac12W_0=\frac\pi4$. Avec $n=2$, elle donne $W_4=\frac34W_2=\frac{3\pi}{16}$. Le choix $\frac38$ prend $W_0=1$, en confondant la longueur de l'intervalle avec la valeur de l'intégrande. Le choix $\frac{3\pi}{8}$ prend $W_0=\pi$. Le choix $\frac\pi8$ applique deux fois le coefficient $\frac12$ au lieu de recalculer $\frac{n+1}{n+2}$ à chaque étape.