Erreurs fréquentes : Logique et raisonnements (Prépa, 1re année)
Ce chapitre fixe le langage dans lequel toutes les mathématiques de prépa sont écrites : assertions, connecteurs, quantificateurs, et la façon correcte de les nier. Il donne aussi les schémas de démonstration (contraposée, absurde, analyse-synthèse, récurrences) qui servent ensuite dans tous les chapitres.
Nier « $P$ et $Q$ » en écrivant « non $P$ et non $Q$ ».
Par De Morgan, la négation de « $P$ et $Q$ » est « non $P$ ou non $Q$ ». Par exemple, la négation de « $0\leq x\leq 1$ » est « $x<0$ ou $x>1$ ».
Écrire que la négation de $P\Rightarrow Q$ est $P\Rightarrow\neg Q$, ou $\neg P\Rightarrow\neg Q$.
La négation d'une implication est une conjonction : $\neg(P\Rightarrow Q)$ équivaut à « $P$ et $\neg Q$ ». Ainsi « $f$ n'est pas croissante » s'écrit : il existe $x\leq y$ tels que $f(x)>f(y)$.
Confondre la réciproque $Q\Rightarrow P$ et la contraposée $\neg Q\Rightarrow\neg P$, et croire que démontrer l'une démontre l'autre.
Seule la contraposée est équivalente à $P\Rightarrow Q$. La réciproque est un énoncé différent, qu'il faut démontrer séparément (c'est le second sens d'une équivalence).
Permuter un $\forall$ et un $\exists$, ou changer l'ordre des quantificateurs en écrivant la négation.
On garde l'ordre exact et les ensembles de variation ; on échange seulement $\forall$ et $\exists$ et on nie la propriété finale. « $\forall x,\ \exists y$ » et « $\exists y,\ \forall x$ » n'ont pas le même sens.
Nier « $\forall\varepsilon>0$ » en « $\exists\varepsilon\leq 0$ ».
La condition sur la variable n'est pas niée : la négation de « $\forall\varepsilon>0,\ R(\varepsilon)$ » est « $\exists\varepsilon>0,\ \neg R(\varepsilon)$ ».
Écrire dans l'hérédité « Supposons $P(n)$ vraie pour tout $n$ » ou définir $P(n)$ comme « pour tout $n$, … ».
C'est supposer ce qu'on veut démontrer. On écrit « Soit $n\geq n_0$ tel que $P(n)$ soit vraie », et $P(n)$ est une assertion sur un entier $n$ fixé.
Faire une récurrence double avec une seule initialisation.
L'hérédité $\big(P(n)\ \text{et}\ P(n+1)\big)\Rightarrow P(n+2)$ ne démarre que si $P(n_0)$ et $P(n_0+1)$ sont toutes deux vérifiées.
S'arrêter après l'analyse dans un raisonnement par analyse-synthèse, ou écrire des équivalences après une élévation au carré.
L'analyse ne donne que des conditions nécessaires ; la synthèse vérifie que les candidats conviennent. De même, $a=b\Rightarrow a^2=b^2$ mais la réciproque exige $a$ et $b$ de même signe : on vérifie les solutions obtenues.