QCM : Logique et raisonnements (Prépa, 1re année)
Ce chapitre fixe le langage dans lequel toutes les mathématiques de prépa sont écrites : assertions, connecteurs, quantificateurs, et la façon correcte de les nier. Il donne aussi les schémas de démonstration (contraposée, absurde, analyse-synthèse, récurrences) qui servent ensuite dans tous les chapitres.
Soit $(u_n)$ une suite réelle et $\ell\in\mathbb{R}$. Quelle est la négation de $\forall\varepsilon>0,\ \exists N\in\mathbb{N},\ \forall n\geq N,\ |u_n-\ell|\leq\varepsilon$ ?
On échange chaque quantificateur ($\forall$ devient $\exists$ et inversement) en gardant l'ordre et les ensembles de variation, puis on nie la propriété finale : $\leq$ devient $>$. Le piège principal consiste à nier la condition $\varepsilon>0$ en $\varepsilon\leq 0$ : cette condition décrit l'ensemble où varie $\varepsilon$, elle ne se nie pas. Les deux autres choix oublient d'échanger certains quantificateurs.
Soient $P$ et $Q$ deux assertions. À quoi équivaut la négation de $P\Rightarrow Q$ ?
Par définition, $P\Rightarrow Q$ est $(\neg P)\vee Q$. Par De Morgan, sa négation est $P\wedge(\neg Q)$ : c'est le seul cas où l'implication est fausse. Le piège est de croire que la négation d'une implication est encore une implication. Or $P\Rightarrow\neg Q$ est vraie dès que $P$ est fausse, comme $P\Rightarrow Q$ : les deux ne peuvent pas être contraires.
Soit $n\in\mathbb{Z}$. Quelle est la contraposée de l'implication « si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair » ?
La contraposée de $P\Rightarrow Q$ est $(\neg Q)\Rightarrow(\neg P)$. Ici $\neg Q$ est « $n$ est impair » et $\neg P$ est « $n^2$ est impair ». Le premier choix est la réciproque $Q\Rightarrow P$, confusion fréquente. Le deuxième nie les deux assertions sans les échanger : c'est la contraposée de la réciproque, et non celle de l'implication. Le troisième est la négation de l'implication.
Parmi les assertions suivantes, laquelle est vraie ?
Soit $x\in\mathbb{R}^*$. Le réel $y=\dfrac{1}{x}$ existe et vérifie $xy=1$, donc la troisième assertion est vraie. Ici $y$ dépend de $x$, ce qu'autorise l'ordre « $\forall x,\ \exists y$ ». La première affirme qu'un même réel est plus grand que tous les réels, lui compris : elle est fausse. C'est le piège de la permutation de $\forall$ et $\exists$. La deuxième est fausse pour $x=-1$. La quatrième est fausse car $2$ et $-2$ conviennent : il n'y a pas unicité.
Soit $x\in\mathbb{R}$. La condition « $x>2$ » est, pour la condition « $x^2>4$ », une condition :
Si $x>2$, alors $x^2>4$ : l'implication $x>2\Rightarrow x^2>4$ est vraie, donc « $x>2$ » est une condition suffisante. La réciproque est fausse : pour $x=-3$, on a $x^2=9>4$ mais $x\leq 2$. La condition n'est donc pas nécessaire. Le piège est d'inverser les mots : dans $P\Rightarrow Q$, c'est $P$ qui est suffisante et $Q$ qui est nécessaire.
Soit $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$. Quelle assertion signifie « $f$ n'est pas croissante » ?
« $f$ croissante » s'écrit $\forall (x,y),\ (x\leq y\Rightarrow f(x)\leq f(y))$. On change $\forall$ en $\exists$ et on nie l'implication : sa négation est « $x\leq y$ et $f(x)>f(y)$ ». Le premier choix traduit « $f$ décroissante », ce qui n'est pas la négation : $x\mapsto x^2$ n'est ni croissante ni décroissante. Le deuxième garde une implication, erreur classique : cette assertion est vraie pour toute fonction, avec $x=1$ et $y=0$. Le troisième oublie d'échanger le quantificateur.
On veut démontrer par récurrence double que $P(n)$ est vraie pour tout $n\in\mathbb{N}$. L'hérédité établie est : pour tout $n\in\mathbb{N}$, $\big(P(n)\ \text{et}\ P(n+1)\big)\Rightarrow P(n+2)$. Quelle initialisation est nécessaire et suffisante ?
L'hérédité a besoin de deux rangs consécutifs pour démarrer. Avec $P(0)$ et $P(1)$, elle donne $P(2)$, puis $P(3)$, et ainsi de suite. Une seule initialisation, erreur fréquente, ne permet pas d'appliquer l'hérédité une première fois. Vérifier aussi $P(2)$ n'est pas faux, mais c'est inutile : $P(2)$ découle de l'hérédité appliquée avec $n=0$.
Dans un raisonnement par analyse-synthèse, que fournit l'étape d'analyse ?
L'analyse part d'une solution supposée et en déduit ce qu'elle doit vérifier : ce sont des conditions nécessaires. Elles restreignent les candidats, ce qui donne l'unicité. L'existence vient seulement de la synthèse, qui vérifie que les candidats conviennent. Le piège est de s'arrêter après l'analyse, en croyant qu'un candidat trouvé est forcément une solution.
Quel est l'ensemble des solutions réelles de l'équation $\sqrt{x+6}=x$ ?
Comme $\sqrt{x+6}\geq 0$, une solution vérifie nécessairement $x\geq 0$. Pour $x\geq 0$, l'équation équivaut à $x+6=x^2$, soit $(x-3)(x+2)=0$. Avec $x\geq 0$, il reste $x=3$, et l'on vérifie que $\sqrt{9}=3$. Le piège est d'élever au carré en écrivant une équivalence : on garde alors à tort $-2$, alors que $\sqrt{4}=2\neq -2$.
Soient $P(x)$ et $Q(x)$ deux prédicats sur un ensemble $E$. Quelle est la négation de $\forall x\in E,\ \big(P(x)\ \text{ou}\ Q(x)\big)$ ?
Le $\forall$ devient $\exists$, puis on nie « $P(x)$ ou $Q(x)$ » par De Morgan : on obtient « $\neg P(x)$ et $\neg Q(x)$ ». Le premier choix oublie de changer le « ou » en « et », erreur classique sur De Morgan. Le troisième oublie d'échanger le quantificateur. Le quatrième sépare le quantificateur en deux : rien n'oblige alors à trouver le même $x$ pour les deux propriétés, donc cette assertion est plus faible que la vraie négation.