Erreurs fréquentes : Nombres réels (Prépa, 1re année)
Ce chapitre fixe les outils de base pour manipuler les réels avec rigueur : inégalités, valeur absolue, partie entière, bornes supérieure et inférieure. La propriété de la borne supérieure, qui distingue $\mathbb{R}$ de $\mathbb{Q}$, sert ensuite pour les suites, les limites, la continuité et l'intégration.
Soustraire ou diviser des inégalités membre à membre : de $1 \le x \le 2$ et $3 \le y \le 4$, conclure $1 - 3 \le x - y \le 2 - 4$.
On encadre d'abord $-y$ : $-4 \le -y \le -3$, puis on additionne : $-3 \le x - y \le -1$. Pour un quotient de positifs, on encadre $\frac{1}{y}$ et on multiplie.
Multiplier des inégalités sans vérifier le signe des termes, ou multiplier par un réel négatif sans changer le sens.
Multiplier des inégalités n'est permis qu'entre réels positifs. Multiplier par $z < 0$ renverse le sens de l'inégalité.
Croire que la borne supérieure appartient toujours à la partie, et confondre $\sup$ et $\max$.
$\sup\,[0,1[ = 1 \notin [0,1[$. Le maximum existe seulement si la borne supérieure appartient à la partie, et il lui est alors égal.
Déduire $\sup A < M$ de $\forall a \in A,\ a < M$.
Le passage à la borne supérieure ne conserve que les inégalités larges : on obtient seulement $\sup A \le M$.
Mal écrire la caractérisation de la borne supérieure : choisir $a$ avant $\varepsilon$, ou écrire $a \ge M + \varepsilon$.
L'ordre est « pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $a \in A$ tel que $a > M - \varepsilon$ » : l'élément $a$ dépend de $\varepsilon$. Il faut aussi vérifier séparément que $M$ est un majorant.
Calculer la partie entière d'un négatif par troncature : $\lfloor -2{,}5 \rfloor = -2$.
$\lfloor x \rfloor$ est l'unique entier $n$ tel que $n \le x < n + 1$ : $\lfloor -2{,}5 \rfloor = -3$.
Écrire $\lfloor x + y \rfloor = \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor$ ou $\lfloor 2x \rfloor = 2\lfloor x \rfloor$.
Seul un entier sort de la partie entière : $\lfloor x + k \rfloor = \lfloor x \rfloor + k$ pour $k \in \mathbb{Z}$. En général, $\lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor \le \lfloor x + y \rfloor \le \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor + 1$ ; par exemple $\lfloor 2 \times 0{,}5 \rfloor = 1 \neq 0$.
Écrire $|x - y| \le |x| - |y|$ ou $|x + y| = |x| + |y|$ sans condition.
Les formes justes sont $|x + y| \le |x| + |y|$, avec égalité si et seulement si $xy \ge 0$, et $\big||x| - |y|\big| \le |x - y|$.