Prépa · MPSI / MP2I

Fiche résumé : Nombres réels (Prépa, 1re année)

Ce chapitre fixe les outils de base pour manipuler les réels avec rigueur : inégalités, valeur absolue, partie entière, bornes supérieure et inférieure. La propriété de la borne supérieure, qui distingue $\mathbb{R}$ de $\mathbb{Q}$, sert ensuite pour les suites, les limites, la continuité et l'intégration.

Ordre : on additionne des inégalités de même sens ; on ne multiplie qu'entre positifs ; multiplier par un négatif renverse le sens ; on ne soustrait ni ne divise des inégalités.
$0 < x \le y \implies \frac{1}{y} \le \frac{1}{x}$ ; $0 \le x \le y \implies x^2 \le y^2$ ; $xy \le \frac{x^2 + y^2}{2}$ ; $\sqrt{ab} \le \frac{a+b}{2}$ pour $a, b \ge 0$.
Valeur absolue : $|x| = \max(x, -x)$, $\sqrt{x^2} = |x|$, $|xy| = |x||y|$.
$|x - a| \le r \iff x \in [a - r, a + r]$.
Inégalité triangulaire : $|x + y| \le |x| + |y|$ (égalité ssi $xy \ge 0$) et $\big||x| - |y|\big| \le |x - y|$.
Borne supérieure : plus petit des majorants. Toute partie non vide et majorée de $\mathbb{R}$ en admet une (admis). $\inf A = -\sup(-A)$.
Caractérisation : $M = \sup A \iff$ ($\forall a \in A,\ a \le M$) et ($\forall \varepsilon > 0,\ \exists a \in A,\ a > M - \varepsilon$).
Si tout $a \in A$ vérifie $a \le M$, alors $\sup A \le M$ ; une inégalité stricte devient large.
$\sup A$ n'appartient pas forcément à $A$ ; s'il lui appartient, c'est $\max A$.
Archimède : $\forall x \in \mathbb{R},\ \exists n \in \mathbb{N},\ n > x$.
Intervalles : $I$ est un intervalle $\iff \forall a, b \in I,\ a \le b \implies [a, b] \subset I$.
$\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{-\infty, +\infty\}$ ; $\sup A = +\infty$ si $A$ est non vide et non majorée.
Partie entière : $\lfloor x \rfloor$ est l'unique $n \in \mathbb{Z}$ tel que $n \le x < n + 1$ ; $x - 1 < \lfloor x \rfloor \le x$.
$\lfloor x + k \rfloor = \lfloor x \rfloor + k$ pour $k \in \mathbb{Z}$ ; $\lfloor \cdot \rfloor$ est croissante ; $\lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor \le \lfloor x + y \rfloor \le \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor + 1$.
Approximations décimales : $d_n = 10^{-n}\lfloor 10^n x \rfloor$ (par défaut) et $e_n = d_n + 10^{-n}$ (par excès) vérifient $d_n \le x < e_n$ ; $(d_n)$ croît, $(e_n)$ décroît.
Densité : $X$ est dense si elle rencontre tout $]a, b[$ avec $a < b$. $\mathbb{D}$, $\mathbb{Q}$ et $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ sont denses dans $\mathbb{R}$.
Rationnel entre $a < b$ : choisir $N$ avec $N(b - a) > 1$, puis $\frac{\lfloor Na \rfloor + 1}{N}$. Irrationnel : ajouter $\sqrt{2}$ à un rationnel bien choisi.