QCM : Nombres réels (Prépa, 1re année)
Ce chapitre fixe les outils de base pour manipuler les réels avec rigueur : inégalités, valeur absolue, partie entière, bornes supérieure et inférieure. La propriété de la borne supérieure, qui distingue $\mathbb{R}$ de $\mathbb{Q}$, sert ensuite pour les suites, les limites, la continuité et l'intégration.
Que vaut $\lfloor -3{,}2 \rfloor$ ?
$\lfloor x \rfloor$ est l'unique entier $n$ tel que $n \le x < n+1$. On a $-4 \le -3{,}2 < -3$, donc $\lfloor -3{,}2 \rfloor = -4$. Le piège $-3$ vient d'une troncature (on efface les décimales), ce qui ne donne la partie entière que pour un réel positif. Or $-3 > -3{,}2$, donc $-3$ n'est pas inférieur ou égal à $x$.
On suppose $2 \le x \le 5$ et $1 \le y \le 3$. Quel est l'encadrement correct de $x - y$ obtenu par les règles de calcul sur les inégalités ?
On encadre d'abord $-y$ : $-3 \le -y \le -1$. On additionne ensuite avec $2 \le x \le 5$ : $-1 \le x - y \le 4$. La réponse $1 \le x - y \le 2$ vient d'une soustraction membre à membre ($2-1$ et $5-3$), qui est interdite. Les deux autres réponses mélangent des bornes mal appariées.
Soit $A = \left\{ \dfrac{1}{n} \;\middle|\; n \in \mathbb{N}^* \right\}$. Quelle affirmation est vraie ?
$0$ minore $A$. Pour $\varepsilon > 0$, la propriété d'Archimède donne $n$ tel que $\frac1n < \varepsilon = 0 + \varepsilon$, donc $\inf A = 0$. Comme $\frac1n > 0$ pour tout $n$, on a $0 \notin A$ : $A$ n'a pas de minimum. Le piège principal est de confondre borne inférieure et minimum. Une borne inférieure peut exister sans appartenir à la partie.
Soit $A$ une partie non vide de $\mathbb{R}$ et $M \in \mathbb{R}$. Laquelle de ces conditions équivaut à $M = \sup A$ ?
C'est la caractérisation du cours : $M$ est un majorant, et pour tout $\varepsilon$ on trouve un élément de $A$ au-dessus de $M - \varepsilon$. L'élément $a$ dépend de $\varepsilon$. Si on inverse les quantificateurs, on impose $a \ge M$, donc $M = \max A$ : c'est trop fort. Avec $a \ge M + \varepsilon$, on contredit le fait que $M$ majore $A$. Si on oublie la condition de majorant, n'importe quel réel plus petit que $\sup A$ convient.
Soit $A$ une partie non vide de $\mathbb{R}$ telle que $\forall a \in A,\ a < 3$. Que peut-on conclure en toute généralité ?
$3$ est un majorant de $A$ et $\sup A$ est le plus petit des majorants, donc $\sup A \le 3$. L'inégalité stricte ne passe pas à la borne supérieure : pour $A = [0, 3[$, on a $\sup A = 3$. On ne peut pas non plus affirmer l'égalité : pour $A = \{0\}$, on a $\sup A = 0$. Enfin, $[0,3[$ n'a pas de maximum.
Quel est l'ensemble des réels $x$ tels que $|x - 2| \ge 3$ ?
$|u| \ge a$ équivaut à $u \le -a$ ou $u \ge a$. Ici on obtient $x - 2 \le -3$ ou $x - 2 \ge 3$, c'est-à-dire $x \le -1$ ou $x \ge 5$. La réponse $[-1,5]$ est celle de l'inéquation $|x-2| \le 3$ : il y a confusion de sens. La réponse $[5,+\infty[$ oublie le cas négatif. La dernière vient d'une erreur de signe : elle remplace $x - 2$ par $x + 2$.
Laquelle de ces parties de $\mathbb{R}$ est un intervalle ?
$[0,1] \cup [1,2] = [0,2]$ est un segment. Une réunion d'intervalles peut donc être un intervalle : le piège est de croire qu'elle ne l'est jamais. $\mathbb{R}^*$ contient $-1$ et $1$ mais pas $0$. $\{|x| > 1\}$ contient $-2$ et $2$ mais pas $0$. $\mathbb{Q} \cap [0,1]$ contient $0$ et $1$ mais pas $\frac{\sqrt2}{2}$. Aucune de ces trois parties ne vérifie la caractérisation des intervalles.
Laquelle de ces égalités est vraie pour tous réels $x$ et $y$ ?
Un entier sort de la partie entière : $\lfloor x + k \rfloor = \lfloor x \rfloor + k$ pour $k \in \mathbb{Z}$. Les autres égalités sont fausses. Pour $x = y = 0{,}7$, on a $\lfloor 1{,}4 \rfloor = 1$ alors que $\lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor = 0$. Pour $x = 0{,}5$, on a $\lfloor 2x \rfloor = 1 \neq 0$. Pour $x = 0{,}5$ encore, $\lfloor -0{,}5 \rfloor = -1 \neq 0$. Le piège est de traiter la partie entière comme une opération linéaire.
Quelle est la valeur décimale approchée par défaut à $10^{-2}$ près de $x = -1{,}234$ ?
Par définition, $d_2 = 10^{-2}\lfloor 10^2 x \rfloor$. On a $10^2 x = -123{,}4$ et $\lfloor -123{,}4 \rfloor = -124$, donc $d_2 = -1{,}24$. On vérifie que $-1{,}24 \le x < -1{,}23$. La réponse $-1{,}23$ vient d'une troncature, qui donne un nombre strictement supérieur à $x$ quand $x$ est négatif : c'est en fait la valeur par excès $e_2$. La réponse $-1{,}2$ correspond à la troncature à $10^{-1}$ près, et non à $10^{-2}$.
Quelle affirmation est vraie ?
$\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ est dense dans $\mathbb{R}$. Si $]a,b[$ ne contenait qu'un nombre fini d'irrationnels, on noterait $r$ le plus petit. L'intervalle $]a, r[$ contiendrait alors un irrationnel plus petit que $r$ : contradiction. Les autres affirmations sont fausses. Entre $1$ et $2$ se trouve $\sqrt2$. $]0{,}2 ; 0{,}8[$ ne contient aucun entier. $\sqrt2 + (-\sqrt2) = 0$ est rationnel. Le piège est d'étendre aux irrationnels la stabilité par somme de $\mathbb{Q}$, qu'ils ne possèdent pas.