Nombres réels
Ce chapitre fait partie du programme de Prépa, 1re année.
Ce chapitre fixe les outils de base pour manipuler les réels avec rigueur : inégalités, valeur absolue, partie entière, bornes supérieure et inférieure. La propriété de la borne supérieure, qui distingue $\mathbb{R}$ de $\mathbb{Q}$, sert ensuite pour les suites, les limites, la continuité et l'intégration.
Prérequis
- Calcul algébrique et manipulation des inégalités vues au lycée
- Quantificateurs, implication, raisonnement par l'absurde
- Ensembles $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ ; toute partie non vide et majorée de $\mathbb{Z}$ admet un plus grand élément
- Irrationalité de $\sqrt{2}$
À la fin du chapitre, on sait
- Manipuler les inégalités en respectant les règles de compatibilité avec l'addition et la multiplication
- Utiliser la valeur absolue, l'inégalité triangulaire et sa seconde forme
- Définir et déterminer une borne supérieure ou inférieure, en particulier avec la caractérisation par $\varepsilon$
- Énoncer la propriété de la borne supérieure et en déduire la propriété d'Archimède
- Définir la partie entière et en utiliser les propriétés
- Reconnaître un intervalle et utiliser leur caractérisation
- Démontrer la densité de $\mathbb{D}$, de $\mathbb{Q}$ et de $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$ ; calculer des valeurs décimales approchées
1.Ordre sur R
L'ensemble $\mathbb{R}$, muni de l'addition, de la multiplication et de la relation $\le$, est un corps totalement ordonné. La construction de $\mathbb{R}$ est hors programme : on admet son existence et ses propriétés fondamentales, dont la propriété de la borne supérieure (section 3).
Relation d'ordre sur R
La relation $\le$ sur $\mathbb{R}$ est :
- réflexive : $x \le x$ ;
- antisymétrique : si $x \le y$ et $y \le x$, alors $x = y$ ;
- transitive : si $x \le y$ et $y \le z$, alors $x \le z$ ;
- totale : pour tous réels $x, y$, on a $x \le y$ ou $y \le x$.
On note $x < y$ lorsque $x \le y$ et $x \neq y$. On note $\mathbb{R}_+ = \{x \in \mathbb{R} \mid x \ge 0\}$ et $\mathbb{R}_+^* = \{x \in \mathbb{R} \mid x > 0\}$.
Compatibilité avec les opérations
Pour tous réels $x, y, z, t$ :
- si $x \le y$, alors $x + z \le y + z$ ;
- si $x \le y$ et $z \le t$, alors $x + z \le y + t$ (on peut additionner des inégalités de même sens) ;
- si $x \le y$ et $z \ge 0$, alors $xz \le yz$ ; si $z \le 0$, alors $xz \ge yz$ ;
- si $0 \le x \le y$ et $0 \le z \le t$, alors $xz \le yt$ (on peut multiplier des inégalités entre réels positifs) ;
- si $0 < x \le y$, alors $0 < \dfrac{1}{y} \le \dfrac{1}{x}$ ;
- si $0 \le x \le y$, alors $x^2 \le y^2$ et $\sqrt{x} \le \sqrt{y}$.
Preuve des points 4, 5 et 6
Point 4 : par le point 3, $xz \le yz$ car $z \ge 0$, et $yz \le yt$ car $y \ge 0$. Par transitivité, $xz \le yt$.
Point 5 : $\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{y} = \dfrac{y - x}{xy}$. Le numérateur est positif ou nul et le dénominateur strictement positif, donc la différence est positive ou nulle.
Point 6 : $y^2 - x^2 = (y - x)(y + x)$ est un produit de deux réels positifs, donc $y^2 \ge x^2$. Pour la racine, si on avait $\sqrt{y} < \sqrt{x}$, le cas déjà traité donnerait $y < x$ (en raisonnant avec des inégalités strictes de la même façon), ce qui contredit $x \le y$.
Ce qu'on n'a pas le droit de faire
On ne soustrait pas des inégalités membre à membre, et on ne les divise pas. Par exemple $3 \le 5$ et $1 \le 4$, mais $3 - 1 \le 5 - 4$ est faux.
Pour encadrer $x - y$, on encadre $-y$ puis on additionne. Pour encadrer $\dfrac{x}{y}$ avec $x, y > 0$, on encadre $\dfrac{1}{y}$ puis on multiplie des inégalités entre positifs.
Encadrer une différence et un quotient
On suppose $1 \le x \le 2$ et $3 \le y \le 4$.
Différence : $-4 \le -y \le -3$, puis en additionnant avec $1 \le x \le 2$ : $-3 \le x - y \le -1$.
Quotient : tous les réels sont strictement positifs, et $\dfrac{1}{4} \le \dfrac{1}{y} \le \dfrac{1}{3}$. En multipliant par $1 \le x \le 2$ (inégalités entre positifs) : $\dfrac{1}{4} \le \dfrac{x}{y} \le \dfrac{2}{3}$.
Comparer deux réels
Pour montrer $A \le B$, on dispose de plusieurs outils :
- étudier le signe de $B - A$ (factoriser, faire apparaître un carré) ;
- si $A$ et $B$ sont strictement positifs, comparer $\dfrac{B}{A}$ à $1$ ;
- si $A$ et $B$ sont positifs, comparer $A^2$ et $B^2$ ;
- appliquer une fonction monotone à une inégalité connue (une fonction décroissante renverse le sens).
Deux inégalités classiques
Pour tous réels $x, y$ : $(x - y)^2 \ge 0$ donne $x^2 - 2xy + y^2 \ge 0$, donc $$xy \le \frac{x^2 + y^2}{2}.$$ Pour tous réels $a, b \ge 0$, on applique ce qui précède à $x = \sqrt{a}$ et $y = \sqrt{b}$ : $$\sqrt{ab} \le \frac{a + b}{2}.$$ C'est l'inégalité entre moyenne géométrique et moyenne arithmétique. Il y a égalité si et seulement si $a = b$, puisque $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = 0$ équivaut à $\sqrt{a} = \sqrt{b}$.
Majorant, minorant, plus grand et plus petit élément
Soit $A$ une partie de $\mathbb{R}$.
- Un réel $M$ est un majorant de $A$ si $\forall a \in A,\ a \le M$. On dit alors que $A$ est majorée.
- Un réel $m$ est un minorant de $A$ si $\forall a \in A,\ a \ge m$. On dit alors que $A$ est minorée.
- $A$ est bornée si elle est majorée et minorée.
- $A$ admet un plus grand élément (ou maximum) s'il existe un majorant de $A$ qui appartient à $A$. Ce réel est unique et noté $\max A$. On définit de même $\min A$.
Exemple : $]0, 1]$ admet $\max ]0,1] = 1$ mais n'a pas de plus petit élément. En effet, si $m \in ]0,1]$, alors $\dfrac{m}{2} \in ]0,1]$ et $\dfrac{m}{2} < m$.
Partie bornée et valeur absolue
Une partie $A$ est bornée si et seulement s'il existe $K \ge 0$ tel que $\forall a \in A,\ |a| \le K$. C'est souvent la forme la plus pratique (voir section 2).
2.Valeur absolue
Valeur absolue, distance
Pour $x \in \mathbb{R}$, la valeur absolue de $x$ est $$|x| = \max(x, -x) = \begin{cases} x & \text{si } x \ge 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases}$$ Pour $x, y$ réels, $|x - y|$ est la distance entre $x$ et $y$ sur la droite réelle.
Règles de calcul
Pour tous réels $x, y$ et tout réel $a \ge 0$ :
- $|x| \ge 0$, et $|x| = 0 \iff x = 0$ ;
- $|-x| = |x|$ et $-|x| \le x \le |x|$ ;
- $|xy| = |x|\,|y|$ et, si $y \neq 0$, $\left|\dfrac{x}{y}\right| = \dfrac{|x|}{|y|}$ ;
- $\sqrt{x^2} = |x|$ ;
- $|x| \le a \iff -a \le x \le a$ ;
- $|x| \ge a \iff (x \le -a \text{ ou } x \ge a)$.
Inégalité triangulaire
Pour tous réels $x, y$ : $$|x + y| \le |x| + |y|,$$ avec égalité si et seulement si $xy \ge 0$ (c'est-à-dire $x$ et $y$ de même signe).
Seconde forme : $$\big|\,|x| - |y|\,\big| \le |x - y|.$$
Preuve de l'inégalité triangulaire
Les deux membres $|x + y|$ et $|x| + |y|$ sont positifs : il suffit de comparer leurs carrés. $$\big(|x| + |y|\big)^2 - |x + y|^2 = x^2 + 2|xy| + y^2 - (x^2 + 2xy + y^2) = 2\big(|xy| - xy\big) \ge 0.$$ Donc $|x + y| \le |x| + |y|$. Il y a égalité si et seulement si $|xy| = xy$, c'est-à-dire $xy \ge 0$.
Seconde forme : $|x| = |(x - y) + y| \le |x - y| + |y|$, donc $|x| - |y| \le |x - y|$. En échangeant les rôles de $x$ et $y$ : $|y| - |x| \le |y - x| = |x - y|$. Les deux inégalités donnent $\big||x| - |y|\big| \le |x - y|$.
Valeur absolue et intervalles
Pour $a \in \mathbb{R}$ et $r \ge 0$ : $$|x - a| \le r \iff a - r \le x \le a + r \iff x \in [a - r, a + r].$$ De même, $|x - a| < r \iff x \in ]a - r, a + r[$. L'intervalle $[a - r, a + r]$ est l'ensemble des réels à distance au plus $r$ de $a$.
Résoudre une (in)équation avec valeurs absolues
- S'il n'y a qu'une valeur absolue du type $|u| \le a$ ou $|u| < a$, on la remplace par un encadrement $-a \le u \le a$.
- S'il y en a plusieurs, on repère les points où chaque expression change de signe.
- On dresse un tableau donnant l'expression sans valeur absolue sur chaque intervalle.
- On résout sur chaque intervalle et on garde seulement les solutions qui appartiennent à l'intervalle étudié.
- On réunit les solutions.
Une seule valeur absolue
Résoudre $|2x - 3| < 5$. $$|2x - 3| < 5 \iff -5 < 2x - 3 < 5 \iff -2 < 2x < 8 \iff -1 < x < 4.$$ L'ensemble des solutions est $]-1, 4[$.
Plusieurs valeurs absolues
Résoudre $|x - 1| + |x + 2| = 5$. Les expressions changent de signe en $-2$ et en $1$.
| $x$ | $x < -2$ | $-2 \le x < 1$ | $x \ge 1$ |
|---|---|---|---|
| $\lvert x-1 \rvert$ | $1 - x$ | $1 - x$ | $x - 1$ |
| $\lvert x+2 \rvert$ | $-x - 2$ | $x + 2$ | $x + 2$ |
| somme | $-2x - 1$ | $3$ | $2x + 1$ |
- Si $x < -2$ : $-2x - 1 = 5 \iff x = -3$, qui vérifie bien $x < -2$.
- Si $-2 \le x < 1$ : la somme vaut $3 \neq 5$, pas de solution.
- Si $x \ge 1$ : $2x + 1 = 5 \iff x = 2$, qui vérifie bien $x \ge 1$.
L'ensemble des solutions est $\{-3, 2\}$.
Majorer une expression
Si $|x| \le 1$, alors par l'inégalité triangulaire : $$|x^2 + 3x - 1| \le |x|^2 + 3|x| + 1 \le 1 + 3 + 1 = 5.$$ On majore chaque terme en valeur absolue. On n'obtient en général pas la meilleure borne, mais une borne correcte, ce qui suffit souvent.
3.Borne supérieure et borne inférieure
Borne supérieure, borne inférieure
Soit $A$ une partie de $\mathbb{R}$.
- On appelle borne supérieure de $A$, si elle existe, le plus petit élément de l'ensemble des majorants de $A$. On la note $\sup A$.
- On appelle borne inférieure de $A$, si elle existe, le plus grand élément de l'ensemble des minorants de $A$. On la note $\inf A$.
Un plus petit élément étant unique, la borne supérieure, lorsqu'elle existe, est unique.
Lien avec le maximum
Si $A$ admet un plus grand élément, alors $A$ admet une borne supérieure et $\sup A = \max A$.
Réciproquement, si $\sup A$ existe et appartient à $A$, alors $A$ admet un plus grand élément égal à $\sup A$.
La borne supérieure n'appartient pas forcément à $A$ : $\sup\, [0, 1[ = 1$ mais $1 \notin [0, 1[$, et $[0,1[$ n'a pas de maximum.
Propriété de la borne supérieure (admise)
Toute partie non vide et majorée de $\mathbb{R}$ admet une borne supérieure.
Toute partie non vide et minorée de $\mathbb{R}$ admet une borne inférieure.
La première assertion est admise : elle fait partie des propriétés fondamentales de $\mathbb{R}$. La seconde s'en déduit.
Déduction de l'existence de la borne inférieure
Soit $A$ non vide et minorée par $m$. On pose $-A = \{-a \mid a \in A\}$. Cette partie est non vide, et majorée par $-m$ car $a \ge m$ entraîne $-a \le -m$. Elle admet donc une borne supérieure $s$.
- $-s$ minore $A$ : pour $a \in A$, $-a \le s$, donc $a \ge -s$.
- C'est le plus grand minorant : si $m'$ minore $A$, alors $-m'$ majore $-A$, donc $s \le -m'$, c'est-à-dire $m' \le -s$.
Ainsi $\inf A$ existe et $\inf A = -\sup(-A)$.
Ce qui manque à Q
Dans $\mathbb{Q}$, la propriété est fausse. La partie $\{x \in \mathbb{Q}_+ \mid x^2 < 2\}$ est non vide et majorée (par $2$), mais n'a pas de borne supérieure dans $\mathbb{Q}$ : sa borne supérieure dans $\mathbb{R}$ est $\sqrt{2}$, qui est irrationnel. C'est cette propriété qui fait de $\mathbb{R}$ un ensemble « sans trous ».
Propriété d'Archimède
Pour tout réel $x$, il existe un entier naturel $n$ tel que $n > x$.
Conséquence : pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $n \in \mathbb{N}^*$ tel que $\dfrac{1}{n} < \varepsilon$ (appliquer la propriété à $x = \dfrac{1}{\varepsilon}$).
Preuve de la propriété d'Archimède
Par l'absurde, supposons qu'il existe $x \in \mathbb{R}$ tel que $\forall n \in \mathbb{N},\ n \le x$. Alors $\mathbb{N}$ est une partie non vide et majorée de $\mathbb{R}$ : elle admet une borne supérieure $s$.
Le réel $s - 1$ est strictement inférieur à $s$, donc ce n'est pas un majorant de $\mathbb{N}$ : il existe $n \in \mathbb{N}$ tel que $n > s - 1$. Alors $n + 1 > s$, avec $n + 1 \in \mathbb{N}$, ce qui contredit le fait que $s$ majore $\mathbb{N}$.
Caractérisation de la borne supérieure
Soit $A$ une partie de $\mathbb{R}$ et $M \in \mathbb{R}$. On a $M = \sup A$ si et seulement si :
- $M$ est un majorant de $A$ : $\forall a \in A,\ a \le M$ ;
- $\forall \varepsilon > 0,\ \exists a \in A,\ M - \varepsilon < a$.
De même, $m = \inf A$ si et seulement si $m$ minore $A$ et $\forall \varepsilon > 0,\ \exists a \in A,\ a < m + \varepsilon$.
Preuve de la caractérisation
Sens direct. Si $M = \sup A$, alors $M$ majore $A$. Soit $\varepsilon > 0$. Le réel $M - \varepsilon$ est strictement inférieur à $M$, qui est le plus petit majorant : $M - \varepsilon$ n'est donc pas un majorant de $A$. Il existe donc $a \in A$ tel que $a > M - \varepsilon$.
Sens réciproque. Supposons 1 et 2. Soit $M'$ un majorant de $A$ ; montrons $M' \ge M$. Par l'absurde, si $M' < M$, on pose $\varepsilon = M - M' > 0$. Par 2, il existe $a \in A$ avec $a > M - \varepsilon = M'$, ce qui contredit le fait que $M'$ majore $A$. Donc $M$ est un majorant inférieur ou égal à tous les majorants : c'est le plus petit, $M = \sup A$.
Montrer que M est la borne supérieure de A
- Vérifier que $M$ majore $A$ : pour tout $a \in A$, $a \le M$.
- Si $M \in A$, c'est terminé : $M = \max A = \sup A$.
- Sinon, fixer $\varepsilon > 0$ quelconque et exhiber un élément $a \in A$ (qui dépend de $\varepsilon$) tel que $a > M - \varepsilon$. La propriété d'Archimède sert souvent à choisir un entier $n$ assez grand.
Une variante, vue au chapitre sur les suites : $M$ majore $A$ et il existe une suite d'éléments de $A$ qui converge vers $M$ (caractérisation séquentielle).
Un exemple type
Soit $A = \left\{1 - \dfrac{1}{n} \;\middle|\; n \in \mathbb{N}^*\right\}$.
Borne inférieure : pour tout $n \ge 1$, $\dfrac{1}{n} \le 1$, donc $1 - \dfrac{1}{n} \ge 0$. Ainsi $0$ minore $A$ et $0 = 1 - \dfrac{1}{1} \in A$. Donc $\inf A = \min A = 0$.
Borne supérieure : $1$ majore $A$ car $1 - \dfrac{1}{n} < 1$. Soit $\varepsilon > 0$. Par la propriété d'Archimède, il existe $n \in \mathbb{N}^*$ tel que $\dfrac{1}{n} < \varepsilon$. Alors $a = 1 - \dfrac{1}{n} \in A$ et $a > 1 - \varepsilon$. Donc $\sup A = 1$. Comme $1 - \dfrac{1}{n} < 1$ pour tout $n$, on a $1 \notin A$ : $A$ n'a pas de plus grand élément.
Borne supérieure d'une somme
Soient $A$ et $B$ deux parties non vides et majorées de $\mathbb{R}$, et $A + B = \{a + b \mid a \in A,\ b \in B\}$. Montrons $\sup(A + B) = \sup A + \sup B$.
On note $\alpha = \sup A$, $\beta = \sup B$.
- Pour $a \in A$ et $b \in B$, $a \le \alpha$ et $b \le \beta$, donc $a + b \le \alpha + \beta$ : le réel $\alpha + \beta$ majore $A + B$.
- Soit $\varepsilon > 0$. Par la caractérisation, il existe $a \in A$ avec $a > \alpha - \dfrac{\varepsilon}{2}$ et $b \in B$ avec $b > \beta - \dfrac{\varepsilon}{2}$. Alors $a + b \in A + B$ et $a + b > \alpha + \beta - \varepsilon$.
La caractérisation donne $\sup(A + B) = \alpha + \beta$.
Passage à la borne supérieure
Soit $A$ une partie non vide et majorée de $\mathbb{R}$.
- Si $M$ est un réel tel que $\forall a \in A,\ a \le M$, alors $\sup A \le M$ (car $\sup A$ est le plus petit majorant).
- Si $A \subset B$ avec $B$ majorée, alors $\sup A \le \sup B$ (car $\sup B$ majore $B$, donc $A$).
Ces deux remarques permettent de majorer une borne supérieure sans la calculer.
Les inégalités strictes ne passent pas à la borne supérieure
Si $\forall a \in A,\ a < M$, on peut seulement conclure $\sup A \le M$, pas $\sup A < M$. Exemple : tout élément de $[0, 1[$ est strictement inférieur à $1$, et pourtant $\sup\,[0, 1[ = 1$.
4.Intervalles de R
Les intervalles
Pour $a, b$ réels, on définit :
- $[a, b] = \{x \in \mathbb{R} \mid a \le x \le b\}$, $]a, b[ = \{x \mid a < x < b\}$, $[a, b[ = \{x \mid a \le x < b\}$, $]a, b] = \{x \mid a < x \le b\}$ ;
- $[a, +\infty[ = \{x \mid x \ge a\}$, $]a, +\infty[ = \{x \mid x > a\}$, $]-\infty, b] = \{x \mid x \le b\}$, $]-\infty, b[ = \{x \mid x < b\}$ ;
- $]-\infty, +\infty[ = \mathbb{R}$.
Un intervalle de $\mathbb{R}$ est une partie de l'une de ces formes. Un intervalle $[a, b]$ avec $a \le b$ s'appelle un segment. Les intervalles $]a, b[$, $]a, +\infty[$, $]-\infty, b[$ et $\mathbb{R}$ sont dits ouverts. L'ensemble vide est un intervalle ($]a, a[ = \varnothing$), ainsi qu'un singleton ($[a, a] = \{a\}$).
La droite achevée
On note $\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{-\infty, +\infty\}$, muni de l'ordre prolongé par $-\infty < x < +\infty$ pour tout réel $x$.
Si $A$ est non vide et non majorée, on pose $\sup A = +\infty$ ; si $A$ est non vide et non minorée, on pose $\inf A = -\infty$. Avec ces conventions, toute partie non vide de $\mathbb{R}$ admet une borne supérieure et une borne inférieure dans $\overline{\mathbb{R}}$.
Caractérisation des intervalles
Une partie $I$ de $\mathbb{R}$ est un intervalle si et seulement si $$\forall (a, b) \in I^2,\quad a \le b \implies [a, b] \subset I.$$ Autrement dit, un intervalle est une partie « sans trou » : dès qu'elle contient deux réels, elle contient tous les réels situés entre eux. On dit que $I$ est convexe.
Preuve de la caractérisation
Sens direct. On le vérifie sur chaque forme. Par exemple pour $I = [\alpha, \beta[$ : si $a, b \in I$ avec $a \le b$ et $x \in [a, b]$, alors $\alpha \le a \le x \le b < \beta$, donc $x \in I$. Les autres cas sont identiques.
Sens réciproque. Soit $I$ vérifiant la propriété. Si $I = \varnothing$, c'est un intervalle. Sinon, on pose $\alpha = \inf I$ et $\beta = \sup I$ dans $\overline{\mathbb{R}}$. Par définition, $I \subset [\alpha, \beta] \cap \mathbb{R}$.
Montrons $]\alpha, \beta[ \subset I$. Soit $x$ réel avec $\alpha < x < \beta$. Comme $x > \inf I$, $x$ ne minore pas $I$ : il existe $a \in I$ avec $a < x$. Comme $x < \sup I$, $x$ ne majore pas $I$ : il existe $b \in I$ avec $b > x$. Alors $x \in [a, b] \subset I$.
Ainsi $]\alpha, \beta[ \subset I \subset [\alpha, \beta] \cap \mathbb{R}$ : $I$ est égal à $]\alpha, \beta[$ auquel on ajoute éventuellement $\alpha$ et/ou $\beta$ s'ils sont réels et appartiennent à $I$. Dans tous les cas, $I$ est l'une des formes de la définition.
Montrer qu'une partie est (ou n'est pas) un intervalle
- Pour montrer que $I$ est un intervalle : on prend $a, b \in I$ avec $a \le b$ et $x \in [a, b]$, puis on montre $x \in I$.
- Pour montrer que $I$ n'est pas un intervalle : on exhibe $a, b \in I$ et $x \in ]a, b[$ avec $x \notin I$.
Intersection et réunion
- L'intersection de deux intervalles $I$ et $J$ est un intervalle : si $a, b \in I \cap J$ avec $a \le b$, alors $[a, b] \subset I$ et $[a, b] \subset J$, donc $[a, b] \subset I \cap J$.
- La réunion de deux intervalles n'en est pas toujours un : $[0, 1] \cup [2, 3]$ contient $1$ et $2$ mais pas $\dfrac{3}{2}$.
- $\mathbb{R}^*$ n'est pas un intervalle : il contient $-1$ et $1$ mais pas $0$.
5.Partie entière
Définition de la partie entière
Pour tout réel $x$, il existe un unique entier relatif $n$ tel que $$n \le x < n + 1.$$ Cet entier s'appelle la partie entière de $x$ et se note $\lfloor x \rfloor$. C'est le plus grand entier relatif inférieur ou égal à $x$.
Existence et unicité
Existence. On pose $E = \{n \in \mathbb{Z} \mid n \le x\}$.
- $E$ est non vide : par la propriété d'Archimède, il existe $m \in \mathbb{N}$ tel que $m > -x$, donc $-m < x$ et $-m \in E$.
- $E$ est majorée par un entier : par la propriété d'Archimède, il existe $N \in \mathbb{N}$ tel que $N > x$, et alors tout élément de $E$ est inférieur à $N$.
Une partie non vide et majorée de $\mathbb{Z}$ admet un plus grand élément $p$. On a $p \le x$ car $p \in E$, et $p + 1 > x$ car $p + 1 \notin E$ (il est strictement plus grand que le maximum). Donc $p \le x < p + 1$.
Unicité. Si $n$ et $m$ sont deux entiers vérifiant $n \le x < n + 1$ et $m \le x < m + 1$, alors $x - 1 < n \le x$ et $-x \le -m < -x + 1$. En additionnant, $-1 < n - m < 1$. Comme $n - m$ est un entier, $n - m = 0$.
Premières valeurs
$\lfloor 3{,}7 \rfloor = 3$ ; $\lfloor \pi \rfloor = 3$ ; $\lfloor -5 \rfloor = -5$ ; $\lfloor -3{,}7 \rfloor = -4$ car $-4 \le -3{,}7 < -3$ ; $\lfloor -0{,}2 \rfloor = -1$.
Partie entière et troncature
Pour un réel négatif non entier, la partie entière n'est pas obtenue en « effaçant les décimales ». On a $\lfloor -2{,}5 \rfloor = -3$, et non $-2$. On revient toujours à la définition $n \le x < n + 1$.
Propriétés de la partie entière
Pour tous réels $x, y$ et tout entier $k \in \mathbb{Z}$ :
- $\lfloor x \rfloor \le x < \lfloor x \rfloor + 1$ et $x - 1 < \lfloor x \rfloor \le x$ ;
- $\lfloor x \rfloor = x \iff x \in \mathbb{Z}$ ;
- $\lfloor x + k \rfloor = \lfloor x \rfloor + k$ ;
- la fonction partie entière est croissante : $x \le y \implies \lfloor x \rfloor \le \lfloor y \rfloor$ ;
- $\lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor \le \lfloor x + y \rfloor \le \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor + 1$ ;
- si $x \notin \mathbb{Z}$, $\lfloor -x \rfloor = -\lfloor x \rfloor - 1$ ; si $x \in \mathbb{Z}$, $\lfloor -x \rfloor = -x$.
Preuve des points 3 à 6
Point 3 : $\lfloor x \rfloor + k$ est un entier et $\lfloor x \rfloor + k \le x + k < \lfloor x \rfloor + k + 1$. Par unicité, c'est $\lfloor x + k \rfloor$.
Point 4 : si $x \le y$, alors $\lfloor x \rfloor \le x \le y$. Ainsi $\lfloor x \rfloor$ est un entier inférieur ou égal à $y$ ; il est donc inférieur ou égal au plus grand d'entre eux, $\lfloor y \rfloor$.
Point 5 : $\lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor$ est un entier inférieur ou égal à $x + y$, donc inférieur ou égal à $\lfloor x + y \rfloor$. Par ailleurs $x + y < \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor + 2$, donc $\lfloor x + y \rfloor \le x + y < \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor + 2$. L'entier $\lfloor x + y \rfloor$ est strictement inférieur à l'entier $\lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor + 2$, donc inférieur ou égal à $\lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor + 1$.
Point 6 : si $x \notin \mathbb{Z}$, on a $\lfloor x \rfloor < x < \lfloor x \rfloor + 1$ (inégalités strictes). Donc $-\lfloor x \rfloor - 1 < -x < -\lfloor x \rfloor$, d'où $-\lfloor x \rfloor - 1 \le -x < (-\lfloor x \rfloor - 1) + 1$ et $\lfloor -x \rfloor = -\lfloor x \rfloor - 1$. Le cas $x \in \mathbb{Z}$ découle du point 2.
Déterminer une partie entière
Pour montrer que $\lfloor y \rfloor = n$ :
- proposer un entier $n$ candidat (calcul approché, cas particuliers) ;
- démontrer l'encadrement $n \le y < n + 1$ ;
- conclure par unicité.
Pour une égalité qui dépend de la position de $x$ entre deux entiers, on écrit $x = \lfloor x \rfloor + t$ avec $t = x - \lfloor x \rfloor \in [0, 1[$, puis on distingue des cas sur $t$.
Partie entière d'une racine
Pour $n \in \mathbb{N}$, calculons $\left\lfloor \sqrt{n^2 + n} \right\rfloor$. On a $$n^2 \le n^2 + n < n^2 + 2n + 1 = (n + 1)^2,$$ la seconde inégalité étant stricte car $n < 2n + 1$. La racine carrée est croissante sur $\mathbb{R}_+$ et strictement croissante, donc $n \le \sqrt{n^2 + n} < n + 1$. Par unicité, $\left\lfloor \sqrt{n^2 + n} \right\rfloor = n$.
Une identité classique
Montrons que pour tout réel $x$, $\lfloor 2x \rfloor = \lfloor x \rfloor + \left\lfloor x + \tfrac{1}{2} \right\rfloor$.
On écrit $x = n + t$ avec $n = \lfloor x \rfloor$ et $t \in [0, 1[$. Par le point 3 des propriétés, $\lfloor 2x \rfloor = 2n + \lfloor 2t \rfloor$ et $\left\lfloor x + \tfrac12 \right\rfloor = n + \left\lfloor t + \tfrac12 \right\rfloor$.
- Si $0 \le t < \tfrac12$ : $2t \in [0, 1[$ et $t + \tfrac12 \in [\tfrac12, 1[$, donc $\lfloor 2x \rfloor = 2n$ et $\lfloor x \rfloor + \left\lfloor x + \tfrac12 \right\rfloor = n + n = 2n$.
- Si $\tfrac12 \le t < 1$ : $2t \in [1, 2[$ et $t + \tfrac12 \in [1, \tfrac32[$, donc $\lfloor 2x \rfloor = 2n + 1$ et $\lfloor x \rfloor + \left\lfloor x + \tfrac12 \right\rfloor = n + (n + 1) = 2n + 1$.
L'égalité est vraie dans les deux cas.
6.Approximations décimales et densité
Nombres décimaux et valeurs approchées
Un nombre décimal est un réel de la forme $\dfrac{p}{10^n}$ avec $p \in \mathbb{Z}$ et $n \in \mathbb{N}$. On note $\mathbb{D}$ leur ensemble ; on a $\mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q}$.
Soient $x \in \mathbb{R}$ et $n \in \mathbb{N}$. On pose $$d_n = \frac{\lfloor 10^n x \rfloor}{10^n}, \qquad e_n = d_n + 10^{-n} = \frac{\lfloor 10^n x \rfloor + 1}{10^n}.$$ Le décimal $d_n$ est la valeur décimale approchée de $x$ à la précision $10^{-n}$ par défaut, et $e_n$ la valeur approchée par excès.
Encadrement et monotonie
Pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $$d_n \le x < e_n \qquad \text{et} \qquad e_n - d_n = 10^{-n}.$$ De plus la suite $(d_n)$ est croissante et la suite $(e_n)$ est décroissante.
Preuve
On note $p = \lfloor 10^n x \rfloor$. Par définition, $p \le 10^n x < p + 1$. En divisant par $10^n > 0$ : $d_n \le x < e_n$.
Monotonie de $(d_n)$. On note $p' = \lfloor 10^{n+1} x \rfloor$. De $p \le 10^n x$, on tire $10p \le 10^{n+1} x$. L'entier $10p$ est inférieur ou égal à $10^{n+1} x$, donc à sa partie entière : $10p \le p'$. Ainsi $d_n = \dfrac{10p}{10^{n+1}} \le \dfrac{p'}{10^{n+1}} = d_{n+1}$.
Monotonie de $(e_n)$. On a $p' \le 10^{n+1} x < 10(p + 1)$. Les entiers $p'$ et $10(p+1)$ vérifient $p' < 10(p + 1)$, donc $p' + 1 \le 10(p + 1)$. En divisant par $10^{n+1}$ : $e_{n+1} \le e_n$.
Valeurs approchées de racine de 2
On a $1{,}414^2 = 1{,}999396 < 2$ et $1{,}415^2 = 2{,}002225 > 2$, donc $1{,}414 \le \sqrt{2} < 1{,}415$, c'est-à-dire $1414 \le 10^3\sqrt{2} < 1415$. Ainsi $\lfloor 10^3 \sqrt{2} \rfloor = 1414$ : $$d_3 = 1{,}414, \qquad e_3 = 1{,}415.$$ Pour un réel négatif, la formule s'applique telle quelle : pour $x = -\sqrt{2}$, $\lfloor -1414{,}21\ldots \rfloor = -1415$, donc $d_3 = -1{,}415$ et $e_3 = -1{,}414$.
Convergence
Comme $0 \le x - d_n < 10^{-n}$ et $0 < e_n - x \le 10^{-n}$, les suites $(d_n)$ et $(e_n)$ convergent vers $x$ (résultat établi au chapitre sur les suites). Tout réel est donc limite d'une suite de décimaux, donc de rationnels.
Partie dense
Une partie $X$ de $\mathbb{R}$ est dense dans $\mathbb{R}$ si elle rencontre tout intervalle ouvert non vide, c'est-à-dire : $$\forall (a, b) \in \mathbb{R}^2,\quad a < b \implies X \cap\, ]a, b[ \;\neq \varnothing.$$ Autrement dit, entre deux réels distincts, il y a toujours un élément de $X$.
Densité de D, de Q et de R \ Q
Les ensembles $\mathbb{D}$, $\mathbb{Q}$ et $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ sont denses dans $\mathbb{R}$.
Preuve
Densité de $\mathbb{D}$. Soient $a < b$. Par la propriété d'Archimède, il existe $n \in \mathbb{N}$ tel que $n > \dfrac{1}{b - a}$. Comme $10^n > n$, on a $10^{-n} < b - a$. On considère la valeur approchée par excès de $a$ : $$e_n = \frac{\lfloor 10^n a \rfloor + 1}{10^n} \in \mathbb{D}.$$ Par la propriété précédente, $a < e_n$, et $e_n = d_n + 10^{-n} \le a + 10^{-n} < a + (b - a) = b$. Donc $e_n \in\, ]a, b[$.
Densité de $\mathbb{Q}$. Elle découle de $\mathbb{D} \subset \mathbb{Q}$ : tout intervalle ouvert non vide contient un décimal, donc un rationnel.
Densité de $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$. Soient $a < b$. On a $a - \sqrt{2} < b - \sqrt{2}$, donc par densité de $\mathbb{Q}$ il existe $r \in \mathbb{Q}$ avec $a - \sqrt{2} < r < b - \sqrt{2}$. Alors $a < r + \sqrt{2} < b$. Le réel $r + \sqrt{2}$ est irrationnel : sinon $\sqrt{2} = (r + \sqrt{2}) - r$ serait la différence de deux rationnels, donc rationnel, ce qui est faux.
Rappel : irrationalité de racine de 2
Si $\sqrt{2} = \dfrac{p}{q}$ avec $p, q$ entiers naturels non nuls premiers entre eux, alors $p^2 = 2q^2$, donc $p^2$ est pair, donc $p$ est pair (le carré d'un impair est impair). On écrit $p = 2k$ : $4k^2 = 2q^2$, soit $q^2 = 2k^2$, donc $q$ est pair. Alors $2$ divise $p$ et $q$, ce qui contredit le fait qu'ils sont premiers entre eux.
Une infinité de rationnels et d'irrationnels
Tout intervalle ouvert non vide $]a, b[$ contient une infinité de rationnels et une infinité d'irrationnels.
Preuve pour les rationnels : si $]a, b[$ n'en contenait qu'un nombre fini, on noterait $r$ le plus petit d'entre eux. L'intervalle $]a, r[$ est non vide et contient un rationnel, strictement inférieur à $r$ et élément de $]a, b[$ : contradiction. Même raisonnement pour les irrationnels.
Construire un rationnel entre a et b
Pour $a < b$ donnés :
- choisir un entier $N \ge 1$ tel que $N(b - a) > 1$ (une puissance de $10$ convient et donne un décimal) ;
- poser $p = \lfloor N a \rfloor + 1$ ;
- on a alors $N a < p \le N a + 1 < N b$, donc $a < \dfrac{p}{N} < b$.
Pour obtenir un irrationnel, on ajoute $\sqrt{2}$ comme dans la démonstration, ou on remplace $\dfrac{p}{N}$ par $\dfrac{p}{N} + \dfrac{\sqrt{2}}{M}$ avec $M$ assez grand.
Un rationnel entre racine de 2 et 1,415
On prend $a = \sqrt{2}$ et $b = 1{,}415$. Comme $1{,}4143^2 = 2{,}00024449 > 2$, on a $b - a > 1{,}415 - 1{,}4143 = 0{,}0007$, donc $N = 10^4$ convient : $N(b - a) > 7 > 1$.
On a $1{,}4142^2 = 1{,}99996164 < 2 < 1{,}4143^2$, donc $\lfloor 10^4 \sqrt{2} \rfloor = 14142$ et $p = 14143$. Le décimal $1{,}4143$ vérifie bien $\sqrt{2} < 1{,}4143 < 1{,}415$.
Caractérisation séquentielle
Au chapitre sur les suites, on montre qu'une partie $X$ est dense dans $\mathbb{R}$ si et seulement si tout réel est limite d'une suite d'éléments de $X$. Par exemple, tout réel $x$ est limite de la suite de rationnels $(d_n)$ et de la suite d'irrationnels $\left(d_n + \dfrac{\sqrt{2}}{10^n}\right)$.