Erreurs fréquentes : Séries numériques (Prépa, 1re année)
Une série est une manière d'additionner une infinité de nombres en donnant un sens précis au mot « somme ». Ce chapitre fournit les outils pour décider si une telle somme existe et, parfois, pour la calculer ou l'estimer.
Conclure qu'une série converge parce que son terme général tend vers $0$.
La condition $u_n\to0$ est nécessaire mais pas suffisante : $\sum\frac1n$ diverge alors que $\frac1n\to0$. Le critère de divergence grossière ne sert qu'à prouver une divergence.
Utiliser le critère des équivalents pour des termes de signe non constant, par exemple déduire la nature de $\sum\left(\frac{(-1)^n}{\sqrt n}+\frac1n\right)$ de celle de $\sum\frac{(-1)^n}{\sqrt n}$.
Les comparaisons $\le$, $O$, $o$, $\sim$ ne s'appliquent qu'à des séries à termes positifs (au moins à partir d'un rang). Pour un signe quelconque, on passe par la convergence absolue ou par un développement asymptotique séparant une partie de nature connue.
Écrire $\sum_{n=0}^{+\infty}(u_n+v_n)=\sum_{n=0}^{+\infty}u_n+\sum_{n=0}^{+\infty}v_n$ sans savoir si les séries convergent, ou manipuler $\sum_{n=0}^{+\infty}u_n$ avant d'avoir prouvé la convergence.
On raisonne sur les sommes partielles finies, où tout est permis, puis on passe à la limite. La linéarité de la somme n'est valable que pour des séries convergentes.
Appliquer la comparaison série-intégrale sans vérifier la monotonie de $f$, ou se tromper dans le sens des inégalités.
Le théorème exige $f$ positive et monotone. On justifie la monotonie (souvent par la dérivée) et on fait un dessin des rectangles : pour $f$ décroissante, $\int_k^{k+1}f\le f(k)\le\int_{k-1}^kf$.
Croire que $\sum\frac1{n^\alpha}$ converge pour $\alpha\ge1$, ou que $\sum\frac{1}{n\ln n}$ converge parce que son terme est négligeable devant $\frac1n$.
La série de Riemann converge si et seulement si $\alpha>1$ strictement ; la série harmonique diverge. Être $o\left(\frac1n\right)$ ne suffit pas : il faut être dominé par $\frac1{n^\alpha}$ avec $\alpha>1$, ou conclure par une comparaison série-intégrale.
Oublier le premier terme dans une somme géométrique : écrire $\sum_{n=2}^{+\infty}q^n=\frac{1}{1-q}$.
On a $\sum_{n=n_0}^{+\infty}q^n=\frac{q^{n_0}}{1-q}$ pour $|q|<1$ : « premier terme divisé par $1-q$ ».
Penser que la convergence entraîne la convergence absolue.
C'est l'inverse : absolument convergente implique convergente. La série $\sum\frac{(-1)^{n+1}}n$ converge sans converger absolument.
Affirmer que $0{,}999\ldots<1$ ou que tout réel a un unique développement décimal sans condition.
$\sum_{n\ge1}\frac9{10^n}=1$. L'unicité n'a lieu que pour le développement propre, c'est-à-dire non stationnaire à $9$ ; les décimaux non nuls admettent en plus un développement impropre.