Fiche résumé : Séries numériques (Prépa, 1re année)

Une série est une manière d'additionner une infinité de nombres en donnant un sens précis au mot « somme ». Ce chapitre fournit les outils pour décider si une telle somme existe et, parfois, pour la calculer ou l'estimer.

Série $\sum u_n$ : suite des sommes partielles $S_n=\sum_{k=0}^nu_k$. Convergence : $(S_n)$ converge ; somme $\sum_{n=0}^{+\infty}u_n=\lim S_n$ ; reste $R_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty}u_k\to0$.
Modifier un nombre fini de termes ne change pas la nature. Convergente + divergente = divergente.
Divergence grossière : si $u_n\not\to0$, $\sum u_n$ diverge. Réciproque fausse ($\sum\frac1n$).
Géométrique : $\sum q^n$ converge $\iff|q|<1$, et $\sum_{n=n_0}^{+\infty}q^n=\frac{q^{n_0}}{1-q}$.
Télescopique : $\sum(a_{n+1}-a_n)$ converge $\iff(a_n)$ converge, somme $\lim a_n-a_0$. Exemple : $\sum_{n\ge1}\frac1{n(n+1)}=1$.
Termes positifs : $(S_n)$ croissante ; convergence $\iff(S_n)$ majorée, sinon $S_n\to+\infty$.
Comparaison (termes positifs) : $0\le u_n\le v_n$, ou $u_n=O(v_n)$, ou $u_n=o(v_n)$, et $\sum v_n$ converge $\Rightarrow\sum u_n$ converge. Si $u_n\sim v_n$ avec $v_n\ge0$ : même nature.
Règle pratique : $n^\alpha u_n\to0$ avec $\alpha>1$ $\Rightarrow$ convergence ; $nu_n\to+\infty$ $\Rightarrow$ divergence (termes positifs).
Série-intégrale ($f$ continue par morceaux, positive, décroissante) : $\int_k^{k+1}f\le f(k)\le\int_{k-1}^kf$ ; $\sum f(n)$ converge $\iff\left(\int_a^nf\right)$ majorée.
Riemann : $\sum\frac1{n^\alpha}$ converge $\iff\alpha>1$.
$H_n=\sum_{k=1}^n\frac1k$ : $\ln(n+1)\le H_n\le1+\ln n$, $H_n\sim\ln n$, $H_n=\ln n+\gamma+o(1)$.
Reste de Riemann ($\alpha>1$) : $\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac1{k^\alpha}\sim\frac{1}{(\alpha-1)n^{\alpha-1}}$.
Convergence absolue : $\sum|u_n|$ converge $\Rightarrow\sum u_n$ converge et $\left|\sum u_n\right|\le\sum|u_n|$. Réciproque fausse : $\sum\frac{(-1)^{n+1}}n$ converge (suites $S_{2n}$, $S_{2n+1}$ adjacentes) sans converger absolument.
$u_n=O(v_n)$, $v_n\ge0$, $\sum v_n$ converge $\Rightarrow\sum u_n$ absolument convergente.
Équivalents interdits pour des termes de signe non constant.
Développement décimal : $x_n=\frac{\lfloor10^nx\rfloor}{10^n}$, $x_n\le x<x_n+10^{-n}$. Pour $x\in[0,1[$ : unique $x=\sum_{n\ge1}\frac{d_n}{10^n}$, $d_n\in\{0,\dots,9\}$ non stationnaire à $9$, avec $d_n=\lfloor10^nx\rfloor-10\lfloor10^{n-1}x\rfloor$. $0{,}999\ldots=1$. Rationnel $\iff$ développement périodique à partir d'un rang.