QCM : Séries numériques (Prépa, 1re année)
Une série est une manière d'additionner une infinité de nombres en donnant un sens précis au mot « somme ». Ce chapitre fournit les outils pour décider si une telle somme existe et, parfois, pour la calculer ou l'estimer.
Que vaut $\sum_{n=2}^{+\infty}\left(\frac23\right)^n$ ?
Pour $|q|<1$, on a $\sum_{n=n_0}^{+\infty}q^n=\frac{q^{n_0}}{1-q}$. Ici cela donne $\frac{4/9}{1/3}=\frac43$. On peut vérifier : $3-1-\frac23=\frac43$. La réponse $3$ vient de la formule $\frac1{1-q}$ appliquée sans tenir compte du premier indice. La réponse $2$ revient à ne retirer que le terme d'indice $0$. La réponse $\frac49$ est seulement le premier terme.
Soit $(u_n)$ une suite réelle. Laquelle de ces affirmations est vraie ?
Si $S_n\to S$, alors $u_n=S_n-S_{n-1}\to0$. Les trois autres affirmations reviennent toutes à croire que la réciproque est vraie. La série harmonique $\sum\frac1n$ les contredit : elle est à termes positifs, son terme général tend vers $0$, et pourtant elle diverge.
Que vaut $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n(n+2)}$ ?
On décompose : $\frac1{n(n+2)}=\frac12\left(\frac1n-\frac1{n+2}\right)$. Le télescopage se fait avec un décalage de $2$. La somme partielle vaut $\frac12\left(1+\frac12-\frac1{n+1}-\frac1{n+2}\right)$, qui tend vers $\frac34$. La réponse $\frac12$ ne garde que le terme $\frac11$, comme dans un télescopage de décalage $1$. La réponse $\frac32$ oublie le facteur $\frac12$. La réponse $1$ confond avec $\sum\frac1{n(n+1)}$.
Quelle est la nature de la série $\sum_{n\ge1}\frac{1}{n^{1+1/n}}$ ?
On a $n^{1/n}=e^{\ln n/n}\to1$, donc $\frac1{n^{1+1/n}}\sim\frac1n$. Les termes sont positifs, donc la série diverge par comparaison avec la série harmonique. Le piège principal est d'appliquer le critère de Riemann avec un exposant qui dépend de $n$ : ce critère porte sur un exposant $\alpha$ fixe. Le terme général tend bien vers $0$, donc la divergence n'est pas grossière, et cette limite nulle ne prouve pas la convergence.
On admet que $\sum_{n\ge1}\frac{(-1)^n}{\sqrt n}$ converge. Quelle est la nature de $\sum_{n\ge1}\left(\frac{(-1)^n}{\sqrt n}+\frac1n\right)$ ?
La série $\sum\frac{(-1)^n}{\sqrt n}$ converge et la série $\sum\frac1n$ diverge. Leur somme diverge donc. Le piège consiste à utiliser les équivalents pour des termes de signe non constant, ce qui est interdit : c'est précisément le contre-exemple du cours. La série n'est pas absolument convergente, puisque son terme général est équivalent en valeur absolue à $\frac1{\sqrt n}$. Le terme général tend vers $0$, donc la divergence n'est pas grossière.
Soit $R_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{1}{k^3}$. Quel est un équivalent de $R_n$ ?
La comparaison série-intégrale donne $\frac{(n+1)^{-2}}{2}\le R_n\le\frac{n^{-2}}{2}$, d'où $R_n\sim\frac{1}{2n^2}$. C'est le cas $\alpha=3$ de la formule $\frac1{(\alpha-1)n^{\alpha-1}}$. La réponse $\frac1{n^2}$ oublie le facteur $\frac1{\alpha-1}$. La réponse $\frac1{n^3}$ ne retient que le premier terme du reste. La réponse $\frac1{3n^3}$ vient d'une primitive fausse.
Quel est un équivalent de $\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt k}$ quand $n\to+\infty$ ?
La fonction $t\mapsto t^{-1/2}$ est positive et décroissante sur $[1,+\infty[$. La comparaison série-intégrale donne $2\sqrt{n+1}-2\le\sum_{k=1}^n\frac1{\sqrt k}\le1+2\sqrt n-2$. Les deux bornes sont équivalentes à $2\sqrt n$, d'où le résultat. La réponse $\sqrt n$ oublie le facteur issu de la primitive $2\sqrt t$. La réponse $\frac{\sqrt n}2$ dérive au lieu d'intégrer. La réponse $\ln n$ confond avec la série harmonique.
Pour quels $z\in\mathbb C$ la série $\sum_{n\ge0}\frac{z^n}{2^n}$ converge-t-elle ?
C'est une série géométrique de raison $\frac z2$. Elle converge si et seulement si $\left|\frac z2\right|<1$, c'est-à-dire $|z|<2$. Pour $|z|=2$, le terme général est de module $1$, donc la série diverge grossièrement : la réponse $|z|\le2$ est fausse. La réponse $]-2,2[$ oublie les complexes non réels. La réponse $|z|<\frac12$ inverse la raison.
Quelle fraction est égale à $0{,}2\overline{3}=0{,}2333\ldots$ ?
On isole la partie non périodique : $0{,}2\overline3=\frac2{10}+\frac1{10}\cdot\frac39=\frac15+\frac1{30}=\frac7{30}$. La réponse $\frac{23}{99}$ traite $23$ comme le bloc périodique, ce qui donne $0{,}\overline{23}$. La réponse $\frac{23}{90}$ oublie de retrancher la partie non périodique ($\frac{23-2}{90}=\frac7{30}$). La réponse $\frac{233}{999}$ correspond à $0{,}\overline{233}$.
Que peut-on dire des développements décimaux du réel $\frac14$ ?
On a $0{,}24999\ldots=\frac2{10}+\frac4{100}+\sum_{n\ge3}\frac9{10^n}=0{,}24+0{,}01=\frac14$. Comme tout décimal non nul, $\frac14$ a donc deux développements. Le développement propre est celui qui n'est pas stationnaire à $9$, c'est-à-dire $0{,}25000\ldots$ Le piège classique est de croire que $0{,}24999\ldots<0{,}25$, ou de se tromper sur le développement qualifié de propre.