Séries numériques

Supposons que $(S_n)$ converge vers $S$. Pour $n\ge1$, $u_n=S_n-S_{n-1}$. Or $S_n\to S$ et $S_{n-1}\to S$, donc $u_n\to S-S=0$.

Si $|q|\ge1$, alors $|q^n|=|q|^n\ge1$, donc $q^n$ ne tend pas vers $0$ : divergence grossière.

Si $|q|<1$, alors $q\neq1$ et $$S_n=\sum_{k=0}^{n}q^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}.$$ Comme $|q^{n+1}|=|q|^{n+1}\to0$, on obtient $S_n\to\frac1{1-q}$. Pour la somme à partir de $n_0$ : $\sum_{k=n_0}^{n}q^k=q^{n_0}\sum_{j=0}^{n-n_0}q^j\to\frac{q^{n_0}}{1-q}$.

Les termes se simplifient deux à deux : $$S_n=\sum_{k=0}^{n}(a_{k+1}-a_k)=a_{n+1}-a_0.$$ Donc $(S_n)$ converge si et seulement si $(a_{n+1})$ converge, c'est-à-dire si et seulement si $(a_n)$ converge, et la limite vaut $\lim a_n-a_0$.

Pour tout $n$, $S_{n+1}-S_n=u_{n+1}\ge0$, donc $(S_n)$ est croissante. Par le théorème de la limite monotone, une suite croissante converge si et seulement si elle est majorée, et tend vers $+\infty$ sinon. Enfin, une suite croissante convergente est majorée par sa limite.

Supposons $\sum v_n$ convergente. Pour $n\ge n_0$, $$\sum_{k=n_0}^{n}u_k\le\sum_{k=n_0}^{n}v_k\le\sum_{k=n_0}^{+\infty}v_k,$$ la dernière inégalité venant de la positivité des $v_k$. Les sommes partielles de $\sum_{n\ge n_0}u_n$ sont donc majorées ; comme $u_k\ge0$ pour $k\ge n_0$, cette série converge, et $\sum u_n$ aussi (on n'a retiré qu'un nombre fini de termes). La seconde assertion est la contraposée de la première. L'inégalité entre sommes s'obtient par passage à la limite dans $S_n(u)\le S_n(v)$.

1. Si $u_n=O(v_n)$, il existe $M>0$ et un rang $n_0$ tels que, pour $n\ge n_0$, $0\le u_n\le Mv_n$. La série $\sum Mv_n$ converge par linéarité, donc $\sum u_n$ converge par comparaison. Comme $u_n=o(v_n)$ entraîne $u_n=O(v_n)$, le cas $o$ est inclus.

2. Si $u_n\sim v_n$, on écrit $u_n=v_n w_n$ avec $w_n\to1$. Il existe un rang $n_1$ à partir duquel $\frac12\le w_n\le\frac32$ et $v_n\ge0$, donc $$0\le\frac12v_n\le u_n\le\frac32v_n.$$ Si $\sum v_n$ converge, l'inégalité de droite donne la convergence de $\sum u_n$. Si $\sum u_n$ converge, celle de gauche donne $0\le v_n\le 2u_n$ et la convergence de $\sum v_n$. Les deux séries ont donc même nature.

1. Pour $t\in[k-1,k]$, la décroissance donne $f(k)\le f(t)\le f(k-1)$. En intégrant sur $[k-1,k]$, de longueur $1$ : $$f(k)\le\int_{k-1}^{k}f(t)\,\mathrm dt\le f(k-1).\qquad(\ast)$$ L'inégalité de gauche est la majoration annoncée ; l'inégalité de droite écrite au rang $k+1$ donne $\int_k^{k+1}f\le f(k)$.

2. Posons $F(x)=\int_a^xf(t)\,\mathrm dt$. Comme $f\ge0$, $F$ est croissante. En sommant $(\ast)$ pour $k$ de $a+1$ à $n$ et en utilisant la relation de Chasles : $$\sum_{k=a+1}^{n}f(k)\le F(n)\le\sum_{k=a}^{n-1}f(k).$$ Si $\sum f(n)$ converge, l'inégalité de droite montre que $(F(n))$ est majorée par $\sum_{k=a}^{+\infty}f(k)$. Si $(F(n))$ est majorée, l'inégalité de gauche montre que les sommes partielles de la série à termes positifs $\sum f(n)$ sont majorées, donc elle converge.

Enfin, $F$ étant croissante, pour $x\ge a$ on a $F(x)\le F(\lceil x\rceil)$ ; donc $F$ est majorée sur $[a,+\infty[$ si et seulement si $(F(n))$ l'est, et par le théorème de la limite monotone cela équivaut à l'existence d'une limite finie de $F$ en $+\infty$.

Si $\alpha\le0$, alors $\frac1{n^\alpha}=n^{-\alpha}\ge1$ ne tend pas vers $0$ : divergence grossière.

Si $\alpha>0$, la fonction $f:t\mapsto t^{-\alpha}$ est continue, positive et décroissante sur $[1,+\infty[$. On applique la comparaison série-intégrale avec $a=1$.

• Si $\alpha=1$ : $\int_1^n\frac{\mathrm dt}{t}=\ln n\to+\infty$, la suite n'est pas majorée, la série diverge.
• Si $\alpha\neq1$ : $\int_1^n t^{-\alpha}\,\mathrm dt=\frac{n^{1-\alpha}-1}{1-\alpha}$.
  • Si $\alpha>1$, $n^{1-\alpha}\to0$ et l'intégrale tend vers $\frac{1}{\alpha-1}$ : elle est majorée, la série converge.
  • Si $0<\alpha<1$, $n^{1-\alpha}\to+\infty$ et l'intégrale tend vers $+\infty$ : la série diverge.

Pour $n\ge1$ : $$u_{n+1}-u_n=\frac1{n+1}-\ln(n+1)+\ln n=\frac1{n+1}-\int_n^{n+1}\frac{\mathrm dt}{t}\le0,$$ car $\frac1t\ge\frac1{n+1}$ sur $[n,n+1]$. Donc $(u_n)$ est décroissante. De plus, par l'exemple précédent, $u_n\ge\ln(n+1)-\ln n>0$. Suite décroissante minorée : elle converge, vers une limite $\gamma\ge0$.

Cas réel. On pose $u_n^+=\max(u_n,0)$ et $u_n^-=\max(-u_n,0)$. On a $u_n=u_n^+-u_n^-$ et $0\le u_n^{\pm}\le|u_n|$. Par comparaison de séries à termes positifs, $\sum u_n^+$ et $\sum u_n^-$ convergent, donc $\sum u_n$ converge par linéarité.

Cas complexe. On a $|\mathrm{Re}(u_n)|\le|u_n|$ et $|\mathrm{Im}(u_n)|\le|u_n|$. Les séries réelles $\sum\mathrm{Re}(u_n)$ et $\sum\mathrm{Im}(u_n)$ sont donc absolument convergentes, donc convergentes par le cas réel ; ainsi $\sum u_n$ converge.

Inégalité. Pour tout $n$, l'inégalité triangulaire donne $\left|\sum_{k=0}^nu_k\right|\le\sum_{k=0}^{n}|u_k|$. On passe à la limite, le module étant continu.

Existence. On pose $d_n=\lfloor10^nx\rfloor-10\lfloor10^{n-1}x\rfloor$ pour $n\ge1$, entier. Avec $a=10^{n-1}x$ et $m=\lfloor a\rfloor$, on a $m\le a<m+1$, donc $10m\le10a<10m+10$, et comme $10m$ est entier, $10m\le\lfloor10a\rfloor\le10m+9$. Ainsi $d_n=\lfloor 10a\rfloor-10m\in\{0,\dots,9\}$.

Par définition, $\frac{d_n}{10^n}=x_n-x_{n-1}$. Comme $x\in[0,1[$, $x_0=\lfloor x\rfloor=0$, et par télescopage $$\sum_{k=1}^{n}\frac{d_k}{10^k}=x_n-x_0=x_n\xrightarrow[n\to+\infty]{}x.$$ La série converge et a pour somme $x$.

Supposons que $d_k=9$ pour tout $k>N$. Alors $$x=x_N+\sum_{k=N+1}^{+\infty}\frac{9}{10^k}=x_N+9\cdot\frac{10^{-(N+1)}}{1-\frac1{10}}=x_N+10^{-N},$$ ce qui contredit $x<x_N+10^{-N}$. La suite n'est donc pas stationnaire à $9$.

Unicité. Soit $(c_k)$ une suite de $\{0,\dots,9\}$, non stationnaire à $9$, telle que $x=\sum_{k\ge1}\frac{c_k}{10^k}$. Pour $n\ge0$ : $$0\le\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{c_k}{10^k}<\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{9}{10^k}=10^{-n},$$ l'inégalité stricte venant de ce qu'il existe $k>n$ avec $c_k\le8$. En multipliant par $10^n$ : $$10^nx=\underbrace{\sum_{k=1}^{n}c_k10^{n-k}}_{\in\mathbb N}+\theta_n,\qquad\theta_n\in[0,1[.$$ Donc $\lfloor10^nx\rfloor=\sum_{k=1}^{n}c_k10^{n-k}$, puis $\lfloor10^nx\rfloor-10\lfloor10^{n-1}x\rfloor=c_n$. Ainsi $c_n=d_n$ pour tout $n\ge1$.