Règle de d'Alembert : énoncé (MP)
Règle de d'Alembert
Soit $(u_n)$ une suite de complexes non nuls à partir d'un certain rang, telle que $$\frac{|u_{n+1}|}{|u_n|}\xrightarrow[n\to+\infty]{}\ell\in[0,+\infty].$$
- Si $\ell<1$, la série $\sum u_n$ converge absolument.
- Si $\ell>1$, la série $\sum u_n$ diverge grossièrement.
- Si $\ell=1$, on ne peut pas conclure.
Démonstration : Règle de d'Alembert
Cas $\ell<1$. Fixons $q$ avec $\ell<q<1$. Il existe un rang $N$ tel que $|u_{n+1}|\le q|u_n|$ pour $n\ge N$. Par récurrence, $|u_n|\le|u_N|\,q^{n-N}$ pour $n\ge N$. Comme $\sum q^n$ converge ($0<q<1$), la série $\sum|u_n|$ converge par comparaison de séries à termes positifs.
Cas $\ell>1$ (y compris $\ell=+\infty$). Il existe $N$ tel que $|u_{n+1}|\ge|u_n|$ pour $n\ge N$. La suite $(|u_n|)_{n\ge N}$ est croissante, donc $|u_n|\ge|u_N|>0$ : $(u_n)$ ne tend pas vers $0$, et la série diverge grossièrement.
Le cas $\ell=1$
Pour $u_n=\frac1n$ comme pour $u_n=\frac1{n^2}$, le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ tend vers $1$ ; la première série diverge, la seconde converge. La règle ne dit donc rien quand $\ell=1$ : il faut une autre méthode (équivalent, développement asymptotique).
De même, $\frac{u_{n+1}}{u_n}<1$ pour tout $n$ ne suffit pas : c'est vrai pour $\frac1n$. Ce qui compte est la limite du rapport, strictement inférieure à $1$.
Factorielles et puissances
Pour $u_n=\frac{n!}{n^n}>0$ : $$\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}\cdot\frac{n^n}{n!}=\left(\frac{n}{n+1}\right)^n=\left(1+\frac1n\right)^{-n}\to e^{-1}<1.$$ La série $\sum\frac{n!}{n^n}$ converge. De même, pour tout $z\in\mathbb C^*$, $\left|\frac{z^{n+1}/(n+1)!}{z^n/n!}\right|=\frac{|z|}{n+1}\to0$ : la série exponentielle converge absolument.
Quand utiliser d'Alembert
La règle est faite pour les termes où apparaissent des factorielles ou des puissances $n$-ièmes : le rapport se simplifie. Pour une fraction rationnelle en $n$, le rapport tend toujours vers $1$ : on passe directement aux équivalents. Elle resservira pour le rayon de convergence des séries entières.
S’entraîner
Dans le cours
Séries numériques et familles sommables : Règle de d'Alembert