Séries numériques et familles sommables
Ce chapitre fait partie du programme de Prépa, 2e année.
Le chapitre de deuxième année qui complète les séries de MPSI : règle de d'Alembert, séries alternées, sommation des relations de comparaison, formule de Stirling, produit de Cauchy et familles sommables. C'est la base des séries de fonctions et des séries entières, et un thème présent chaque année aux écrits comme aux oraux.
Prérequis
- Séries numériques de première année : convergence, séries à termes positifs, comparaison, séries de Riemann, convergence absolue — Revoir Séries numériques
- Relations de comparaison $o$, $O$, $\sim$ et développements limités usuels
- Intégrale sur un segment et comparaison série-intégrale
- Suites réelles : théorème de la limite monotone, suites adjacentes
À la fin du chapitre, on sait
- Choisir le bon outil pour la nature d'une série : équivalent, règle de d'Alembert, critère des séries alternées, développement asymptotique
- Majorer le reste d'une série alternée et en donner le signe
- Obtenir un équivalent d'un reste ou d'une somme partielle par sommation des relations de comparaison
- Calculer un produit de Cauchy et justifier sa convergence
- Manipuler une famille sommable : sommation par paquets, interversion des sommes d'une série double
1.Règle de d'Alembert
Règle de d'Alembert
Soit $(u_n)$ une suite de complexes non nuls à partir d'un certain rang, telle que $$\frac{|u_{n+1}|}{|u_n|}\xrightarrow[n\to+\infty]{}\ell\in[0,+\infty].$$
- Si $\ell<1$, la série $\sum u_n$ converge absolument.
- Si $\ell>1$, la série $\sum u_n$ diverge grossièrement.
- Si $\ell=1$, on ne peut pas conclure.
Cas $\ell<1$. Fixons $q$ avec $\ell<q<1$. Il existe un rang $N$ tel que $|u_{n+1}|\le q|u_n|$ pour $n\ge N$. Par récurrence, $|u_n|\le|u_N|\,q^{n-N}$ pour $n\ge N$. Comme $\sum q^n$ converge ($0<q<1$), la série $\sum|u_n|$ converge par comparaison de séries à termes positifs.
Cas $\ell>1$ (y compris $\ell=+\infty$). Il existe $N$ tel que $|u_{n+1}|\ge|u_n|$ pour $n\ge N$. La suite $(|u_n|)_{n\ge N}$ est croissante, donc $|u_n|\ge|u_N|>0$ : $(u_n)$ ne tend pas vers $0$, et la série diverge grossièrement.
Le cas $\ell=1$
Pour $u_n=\frac1n$ comme pour $u_n=\frac1{n^2}$, le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ tend vers $1$ ; la première série diverge, la seconde converge. La règle ne dit donc rien quand $\ell=1$ : il faut une autre méthode (équivalent, développement asymptotique).
De même, $\frac{u_{n+1}}{u_n}<1$ pour tout $n$ ne suffit pas : c'est vrai pour $\frac1n$. Ce qui compte est la limite du rapport, strictement inférieure à $1$.
Factorielles et puissances
Pour $u_n=\frac{n!}{n^n}>0$ : $$\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}\cdot\frac{n^n}{n!}=\left(\frac{n}{n+1}\right)^n=\left(1+\frac1n\right)^{-n}\to e^{-1}<1.$$ La série $\sum\frac{n!}{n^n}$ converge. De même, pour tout $z\in\mathbb C^*$, $\left|\frac{z^{n+1}/(n+1)!}{z^n/n!}\right|=\frac{|z|}{n+1}\to0$ : la série exponentielle converge absolument.
Quand utiliser d'Alembert
La règle est faite pour les termes où apparaissent des factorielles ou des puissances $n$-ièmes : le rapport se simplifie. Pour une fraction rationnelle en $n$, le rapport tend toujours vers $1$ : on passe directement aux équivalents. Elle resservira pour le rayon de convergence des séries entières.
2.Séries alternées
Série alternée
Une série $\sum u_n$ est dite alternée si $u_n=(-1)^na_n$ (ou $u_n=(-1)^{n+1}a_n$) avec $a_n\ge0$ pour tout $n$ : ses termes changent de signe à chaque rang.
Critère spécial des séries alternées
Soit $(a_n)$ une suite réelle décroissante et de limite nulle. Alors la série $\sum(-1)^na_n$ converge. De plus, pour tout $n$, le reste $R_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty}(-1)^ka_k$ :
- a le signe de son premier terme $(-1)^{n+1}a_{n+1}$ ;
- vérifie $|R_n|\le a_{n+1}$.
Notons $S_n=\sum_{k=0}^n(-1)^ka_k$. On a $$S_{2n+2}-S_{2n}=a_{2n+2}-a_{2n+1}\le0,\qquad S_{2n+3}-S_{2n+1}=a_{2n+2}-a_{2n+3}\ge0,$$ par décroissance de $(a_n)$, et $S_{2n+1}-S_{2n}=-a_{2n+1}\to0$. Les suites $(S_{2n})$ (décroissante) et $(S_{2n+1})$ (croissante) sont adjacentes : elles convergent vers une même limite $S$, et $S_{2p+1}\le S\le S_{2p}$ pour tout $p$. Les deux suites extraites des indices pairs et impairs ayant la même limite, $(S_n)$ converge vers $S$.
Reste. Si $n=2p$ : $S_{2p+1}\le S\le S_{2p}$ donne $-a_{2p+1}\le R_{2p}\le0$. Si $n=2p+1$ : $S_{2p+1}\le S\le S_{2p+2}$ donne $0\le R_{2p+1}\le a_{2p+2}$. Dans les deux cas, $R_n$ a le signe de $(-1)^{n+1}$ et $|R_n|\le a_{n+1}$.
La série harmonique alternée
$\left(\frac1n\right)_{n\ge1}$ décroît vers $0$, donc $\sum_{n\ge1}\frac{(-1)^{n+1}}{n}$ converge ; elle ne converge pas absolument. On montrera avec les séries entières que sa somme vaut $\ln2$. Le reste vérifie $|R_n|\le\frac1{n+1}$ : pour avoir $\ln2$ à $10^{-3}$ près par une somme partielle, il faut environ $1000$ termes. La convergence est lente.
Ne pas oublier la décroissance
Avec $a_n=\frac1{\sqrt n}+\frac{(-1)^n}{n}$ ($n\ge1$), on a $a_n\ge0$ et $a_n\to0$, mais $(a_n)$ n'est pas décroissante. Et $$(-1)^na_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt n}+\frac1n$$ est le terme d'une série divergente : convergente plus divergente. Le critère exige les deux hypothèses, à vérifier explicitement.
Série « presque alternée » : développement asymptotique
Quand le terme général ressemble à un terme alterné sans en avoir exactement la forme, on écrit un développement $$u_n=\underbrace{\frac{(-1)^n}{n^\alpha}}_{\text{CSSA}}+\underbrace{v_n}_{\text{signe constant}}+\underbrace{O(w_n)}_{\sum w_n\text{ converge}}$$ et on étudie chaque morceau. Exemple : pour $n\ge2$, $$\frac{(-1)^n}{\sqrt n+(-1)^n}=\frac{(-1)^n}{\sqrt n}\left(1-\frac{(-1)^n}{\sqrt n}+O\left(\frac1n\right)\right)=\frac{(-1)^n}{\sqrt n}-\frac1n+O\left(\frac1{n^{3/2}}\right).$$ Le premier terme donne une série convergente, le troisième une série absolument convergente, le deuxième une série divergente : la série diverge, bien que son terme soit équivalent à $\frac{(-1)^n}{\sqrt n}$.
3.Sommation des relations de comparaison
Cas convergent : comparaison des restes
Soit $(v_n)$ une suite de réels positifs telle que $\sum v_n$ converge, et $(u_n)$ une suite complexe.
- Si $u_n=o(v_n)$, alors $\sum u_n$ converge absolument et $\sum_{k=n+1}^{+\infty}u_k=o\left(\sum_{k=n+1}^{+\infty}v_k\right)$.
- Si $u_n=O(v_n)$, même conclusion avec $O$.
- Si $u_n\sim v_n$, alors $\sum u_n$ converge et $\sum_{k=n+1}^{+\infty}u_k\sim\sum_{k=n+1}^{+\infty}v_k$.
Cas $o$. La convergence absolue vient de la comparaison des séries positives $\sum|u_n|$ et $\sum v_n$. Soit $\varepsilon>0$ et $N$ tel que $|u_k|\le\varepsilon v_k$ pour $k\ge N$. Pour $n\ge N$, $$\left|\sum_{k=n+1}^{+\infty}u_k\right|\le\sum_{k=n+1}^{+\infty}|u_k|\le\varepsilon\sum_{k=n+1}^{+\infty}v_k.$$ Cas $\sim$. On applique le cas $o$ à $u_n-v_n=o(v_n)$ : $R_n(u)-R_n(v)=o(R_n(v))$, c'est-à-dire $R_n(u)\sim R_n(v)$. Le cas $O$ est identique au cas $o$ avec une constante fixe.
Cas divergent : comparaison des sommes partielles
Soit $(v_n)$ une suite de réels positifs telle que $\sum v_n$ diverge, et $(u_n)$ une suite complexe.
- Si $u_n=o(v_n)$, alors $\sum_{k=0}^nu_k=o\left(\sum_{k=0}^nv_k\right)$.
- Si $u_n=O(v_n)$, même conclusion avec $O$.
- Si $u_n\sim v_n$, alors $\sum_{k=0}^nu_k\sim\sum_{k=0}^nv_k$ (et $\sum u_n$ diverge).
Cas $o$. Notons $V_n=\sum_{k=0}^nv_k\to+\infty$. Soit $\varepsilon>0$ et $N$ tel que $|u_k|\le\varepsilon v_k$ pour $k>N$. Pour $n>N$ : $$\left|\sum_{k=0}^nu_k\right|\le\left|\sum_{k=0}^Nu_k\right|+\varepsilon\sum_{k=N+1}^nv_k\le C_N+\varepsilon V_n,$$ où $C_N$ ne dépend pas de $n$. Comme $V_n\to+\infty$, on a $C_N\le\varepsilon V_n$ pour $n$ assez grand, donc $\left|\sum_{k=0}^nu_k\right|\le2\varepsilon V_n$. Le cas $\sim$ s'en déduit comme plus haut.
Reste d'une série de Riemann
Soit $\alpha>1$. Un développement limité donne $$\frac1{(k-1)^{\alpha-1}}-\frac1{k^{\alpha-1}}=\frac1{k^{\alpha-1}}\left(\left(1-\frac1k\right)^{1-\alpha}-1\right)\sim\frac{\alpha-1}{k^\alpha}.$$ Les termes $\frac1{k^\alpha}$ sont positifs et la série converge ; par sommation des équivalents (cas convergent) et télescopage : $$\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac1{k^\alpha}\sim\frac1{\alpha-1}\sum_{k=n+1}^{+\infty}\left(\frac1{(k-1)^{\alpha-1}}-\frac1{k^{\alpha-1}}\right)=\frac1{(\alpha-1)\,n^{\alpha-1}}.$$ Par exemple, $\sum_{k>n}\frac1{k^2}\sim\frac1n$.
Développement asymptotique de la série harmonique
Posons $u_n=H_n-\ln n$, qui tend vers $\gamma$ (préambule). Pour $k\ge2$, $$u_k-u_{k-1}=\frac1k+\ln\left(1-\frac1k\right)=-\frac1{2k^2}+O\left(\frac1{k^3}\right)\sim-\frac1{2k^2}.$$ Par sommation (cas convergent, appliquée à des termes de signe constant), $\gamma-u_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty}(u_k-u_{k-1})\sim-\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac1{2k^2}\sim-\frac1{2n}$. D'où $$H_n=\ln n+\gamma+\frac1{2n}+o\left(\frac1n\right).$$
Formule de Stirling
$$n!\sim\sqrt{2\pi n}\left(\frac ne\right)^n.$$
Posons $v_n=\ln\left(\frac{n!\,e^n}{n^{n+1/2}}\right)$ pour $n\ge1$. Un calcul direct donne $v_{n+1}-v_n=1-\left(n+\frac12\right)\ln\left(1+\frac1n\right)$, et le développement $\ln(1+x)=x-\frac{x^2}2+\frac{x^3}3+O(x^4)$ conduit à $$v_{n+1}-v_n=-\frac1{12n^2}+O\left(\frac1{n^3}\right).$$ La série télescopique $\sum(v_{n+1}-v_n)$ converge absolument, donc $(v_n)$ converge vers un réel $\ell$, et $n!\sim C\sqrt n\left(\frac ne\right)^n$ avec $C=e^\ell>0$. La valeur $C=\sqrt{2\pi}$ s'obtient avec les intégrales de Wallis : c'est le problème du chapitre, ou celui du chapitre sur les intégrales généralisées. La démonstration n'est pas exigible, mais la méthode l'est.
Équivalent d'une somme ou d'un reste
- Trouver un équivalent positif $v_k$ du terme $u_k$.
- Écrire $v_k$, à un équivalent près, comme une différence télescopique $f(k)-f(k-1)$ (développement limité ou accroissements finis), ou bien comparer à une intégrale.
- Appliquer la sommation : sommes partielles si la série diverge, restes si elle converge.
4.Produit de Cauchy
Produit de Cauchy de deux séries
Le produit de Cauchy des séries $\sum a_n$ et $\sum b_n$ est la série $\sum w_n$, avec $$w_n=\sum_{k=0}^na_kb_{n-k}=\sum_{p+q=n}a_pb_q.$$ C'est la règle de multiplication des polynômes, prolongée aux séries.
Produit de deux séries absolument convergentes
Si $\sum a_n$ et $\sum b_n$ convergent absolument, leur produit de Cauchy $\sum w_n$ converge absolument et $$\sum_{n=0}^{+\infty}w_n=\left(\sum_{n=0}^{+\infty}a_n\right)\left(\sum_{n=0}^{+\infty}b_n\right).$$
Notons $A_N=\sum_{p\le N}a_p$, $B_N=\sum_{q\le N}b_q$, $W_N=\sum_{n\le N}w_n$, et $w'_n=\sum_{p+q=n}|a_p||b_q|$ le produit de Cauchy des valeurs absolues.
Cas positif. $\sum_{n\le N}w'_n=\sum_{p+q\le N}|a_p||b_q|\le\left(\sum_{p\le N}|a_p|\right)\left(\sum_{q\le N}|b_q|\right)$, qui est majoré : $\sum w'_n$ converge. Comme $|w_n|\le w'_n$, la série $\sum w_n$ converge absolument.
Valeur de la somme. $A_NB_N-W_N=\sum a_pb_q$ sur les couples $p,q\le N$ avec $p+q>N$. Ces couples vérifient $N<p+q\le2N$, donc $$|A_NB_N-W_N|\le\sum_{n=N+1}^{2N}w'_n\le\sum_{n=N+1}^{+\infty}w'_n\xrightarrow[N\to+\infty]{}0,$$ reste d'une série convergente. Donc $W_N\to\left(\sum a_n\right)\left(\sum b_n\right)$.
L'exponentielle
Pour $z,z'\in\mathbb C$, le produit de Cauchy de $\sum\frac{z^n}{n!}$ et $\sum\frac{z'^n}{n!}$ a pour terme $$\sum_{k=0}^n\frac{z^k}{k!}\cdot\frac{z'^{n-k}}{(n-k)!}=\frac1{n!}\sum_{k=0}^n\binom nkz^kz'^{n-k}=\frac{(z+z')^n}{n!}.$$ Les deux séries convergent absolument : $e^ze^{z'}=e^{z+z'}$.
Carré de la série géométrique
Pour $|x|<1$, le produit de Cauchy de $\sum x^n$ par elle-même a pour terme $\sum_{k=0}^nx^kx^{n-k}=(n+1)x^n$. Donc $$\sum_{n=0}^{+\infty}(n+1)x^n=\frac1{(1-x)^2}.$$
L'hypothèse de convergence absolue
Avec $a_n=b_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}$, la série $\sum a_n$ converge (séries alternées), mais pas absolument. Son produit de Cauchy a pour terme $w_n=(-1)^n\sum_{k=0}^n\frac1{\sqrt{(k+1)(n-k+1)}}$, et l'inégalité $\sqrt{(k+1)(n-k+1)}\le\frac{n+2}2$ donne $|w_n|\ge\frac{2(n+1)}{n+2}\ge1$ : le produit diverge grossièrement.
5.Familles sommables
Ensemble dénombrable
Un ensemble est dénombrable s'il est en bijection avec $\mathbb N$. $\mathbb N^2$, $\mathbb Z$, $\mathbb Q$ sont dénombrables ; un produit fini et une réunion dénombrable d'ensembles dénombrables (ou finis) sont au plus dénombrables. $\mathbb R$ n'est pas dénombrable. Dans la suite, $I$ est un ensemble dénombrable.
Famille sommable de réels positifs
Pour une famille $(u_i)_{i\in I}$ d'éléments de $[0,+\infty]$, on pose $$\sum_{i\in I}u_i=\sup\Big\{\sum_{i\in F}u_i\ :\ F\subset I\text{ fini}\Big\}\in[0,+\infty].$$ La famille est sommable si cette borne supérieure est finie. Pour $I=\mathbb N$, on retrouve la somme de la série $\sum u_n$, qui ne dépend donc pas de l'ordre des termes.
Sommation par paquets, cas positif
Soit $(u_i)_{i\in I}$ à valeurs dans $[0,+\infty]$ et $I=\bigcup_{n\in\mathbb N}I_n$ une partition de $I$. Alors, dans $[0,+\infty]$, $$\sum_{i\in I}u_i=\sum_{n=0}^{+\infty}\Big(\sum_{i\in I_n}u_i\Big).$$ Aucune hypothèse de convergence n'est nécessaire : les deux membres peuvent valoir $+\infty$. La démonstration n'est pas exigible.
Famille sommable de complexes
Une famille $(u_i)_{i\in I}$ de complexes est sommable si $(|u_i|)_{i\in I}$ l'est, c'est-à-dire si $\sum_{i\in I}|u_i|<+\infty$. Sa somme se définit en séparant parties réelles et imaginaires, positives et négatives. Pour $I=\mathbb N$ : $(u_n)$ est sommable si et seulement si $\sum u_n$ converge absolument, et les deux sommes coïncident. L'ensemble des familles sommables est un espace vectoriel, et la somme est linéaire.
Sommation par paquets, cas sommable
Si $(u_i)_{i\in I}$ est sommable et $I=\bigcup_nI_n$ est une partition, alors chaque sous-famille $(u_i)_{i\in I_n}$ est sommable, la série $\sum_n\sum_{i\in I_n}u_i$ converge absolument et $$\sum_{i\in I}u_i=\sum_{n=0}^{+\infty}\Big(\sum_{i\in I_n}u_i\Big).$$
Théorème de Fubini pour les séries doubles
Soit $(u_{p,q})_{(p,q)\in\mathbb N^2}$ une famille de complexes. Si $\sum_{p=0}^{+\infty}\sum_{q=0}^{+\infty}|u_{p,q}|<+\infty$ (calcul fait dans $[0,+\infty]$), la famille est sommable et $$\sum_{p=0}^{+\infty}\sum_{q=0}^{+\infty}u_{p,q}=\sum_{q=0}^{+\infty}\sum_{p=0}^{+\infty}u_{p,q}=\sum_{(p,q)\in\mathbb N^2}u_{p,q}.$$ Pour des termes positifs, l'égalité des deux sommes itérées est toujours vraie dans $[0,+\infty]$.
Interversion sans sommabilité
Posons $u_{p,p}=1$, $u_{p,p+1}=-1$ et $u_{p,q}=0$ sinon. Pour chaque $p$, $\sum_qu_{p,q}=1-1=0$, donc $\sum_p\sum_qu_{p,q}=0$. Pour chaque $q\ge1$, $\sum_pu_{p,q}=u_{q,q}+u_{q-1,q}=0$, et pour $q=0$ cette somme vaut $1$ : $\sum_q\sum_pu_{p,q}=1$. La famille n'est pas sommable ($\sum|u_{p,q}|=+\infty$) et l'interversion est fausse.
Une somme de restes de la fonction zêta
Pour $n\ge2$, $\zeta(n)-1=\sum_{k\ge2}\frac1{k^n}$. Les termes $\frac1{k^n}$ sont positifs : on peut intervertir sans condition. $$\sum_{n=2}^{+\infty}(\zeta(n)-1)=\sum_{k=2}^{+\infty}\sum_{n=2}^{+\infty}\frac1{k^n}=\sum_{k=2}^{+\infty}\frac{1/k^2}{1-1/k}=\sum_{k=2}^{+\infty}\frac1{k(k-1)}=1.$$
Justifier une interversion de sommes
- Termes positifs : on intervertit librement, le résultat est dans $[0,+\infty]$.
- Termes complexes : on calcule d'abord $\sum_p\sum_q|u_{p,q}|$ (en intervertissant librement, puisque c'est positif). Si c'est fini, la famille est sommable et on intervertit.
- Le produit de Cauchy est un cas particulier : paquets $I_n=\{(p,q)\ :\ p+q=n\}$ pour la famille sommable $(a_pb_q)$.